专题能力提升练(三) 数列 一、选择题(每小题5分) S51．已知数列{an}是公差不为0的等差数列，且a2＋a6＝a8，则＝( ) a5A．8 B．6 C．5 D．3 S5解析：在等差数列中，由a2＋a6＝a8得2a1＋6d＝a1＋7d，得a1＝d≠0，所以＝a55×45a1＋d5a1＋10d215＝＝＝3. 5a1＋4da1＋4d答案：D 2．已知公差不为0的等差数列{an}的前21项的和等于前8项的和．若a8＋ak＝0，则k＝( ) A．20 B．21 C．22 D．23 解析：设Sn为{an}的前n项和，∵S21＝S8，∴S14＝S15，即a15＝0，∴a8＋a22＝2a15＝0，又∵a8＋ak＝0，∴k＝22. 答案：C 3．已知等差数列{an}单调递增且满足a1＋a10＝4，则a8的取值范围是( ) A．(2,4) B．(－∞，2) C．(2，＋∞) D．(4，＋∞) 5解析：由题知{an}的公差d>0，a1＋a10＝a6－5d＋a10＝2a8－5d＝4，所以a8＝2＋d>2. 2答案：C 4．已知数列{an}的前n项和Sn＝n2－2n＋2，则数列{an}的通项公式为( ) A．an＝2n－3 B．an＝2n＋3 ???1，n＝1?1，n＝1?C．an＝ D．an＝? ?2n－3，n≥2?2n＋3，n≥2?? 解析：当n＝1时，a1＝S1＝1；当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝2n－3.由于当n＝1时，a1的值不适合n≥2的解析式，故选C. 答案：C 225．已知正项数列{an}中，a1＝1，a2＝2,2an＝a2n＋1＋an－1(n≥2)，则a6等于( ) A．16 B．8 C．22 D．4 22222解析：由2an＝a2n＋1＋an－1(n≥2)可知数列{an}是等差数列，且以a1为首项，以d＝a2－222a21＝4－1＝3为公差，所以数列{an}的通项公式为an＝1＋3(n－1)＝3n－2，所以a6＝3×6－2＝16，即a6＝4，故选D. 答案：D 16．已知各项均为正数的数列{an}的前n项和为Sn，首项为a1，且，a，S成等差数列．则2nna5＝( ) A．4 B．8 C．16 D．32 111解析：由题意知2an＝Sn＋，an>0，当n＝1时，2a1＝a1＋，∴a1＝.当n≥2时，Sn＝222112an－，Sn－1＝2an－1－， 22an1两式相减得an＝Sn－Sn－1＝2an－2an－1，整理得＝2，∴数列{an}是以为首项，2为2an－11公比的等比数列，an＝×2n－1＝2n－2，∴a5＝8. 2答案：B a??2n，an是偶数7．已知数列{an}的各项均为正整数，其前n项和为Sn.若an＋1＝?，??3an＋1，an是奇数且S3＝29，则a1＝( ) A．4 B．5 C．6 D．7 解析：当a1＝4时，a2＝2，a3＝1，S3＝7，排除A；当a1＝5时，a2＝16，a3＝8，S3＝29，B符合题意，故选B. 答案：B 8．设数列{an}的前n项和为Sn，a1＝1，且对任意正整数n，点(an＋1，Sn)在直线2x＋y－2＝0上，则a10＝( ) A．512 B．1 024 11C. D. 5121 024解析：因为点(an＋1，Sn)在直线2x＋y－2＝0上，所以2an＋1＋Sn－2＝0.当n>1时，2an1＋Sn－1－2＝0，两式相减得2an＋1－2an＋Sn－Sn－1＝0，即2an＋1－2an＋an＝0，所以an＋1＝211an.又当n＝1时，2a2＋S1－2＝2a2＋a1－2＝0，a2＝＝a1，所以{an}是首项a1＝1，公比q221?911＝的等比数列，所以a10＝??2?＝512. 2答案：C 9．已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且S2＝10，S5＝55，则过点P(n，an)和Q(n＋2，an＋2)(n∈N*)的直线的斜率是( ) A．4 B．3 C．2 D．1 5解析：设等差数列{an}的公差为d，因为S2＝2a1＋d＝10，S5＝(a1＋a5)＝5(a1＋2d)＝2an＋2－an2d55，所以d＝4，所以kPQ＝＝＝d＝4，故选A. n＋2－n2答案：A 10．设等差数列{an}的前n项和为Sn，若Sm－1＝－2，Sm＝0，Sm＋1＝3，其中m≥2，则nSn的最小值为( ) A．－3 B．－5 C．－6 D．－9 解析：由已知得，am＝Sm－Sm－1＝2(m≥2)，am＋1＝Sm＋1－Sm＝3，因为数列{an}为等差m?a1＋am?数列，所以公差d＝am＋1－am＝1.又Sm＝＝0，所以m(a1＋2)＝0，因为m≠0，所2n?n－1?n2－5nn3－5n2x3－5x2以a1＝－2，故Sn＝－2n＋＝，即nSn＝，令f(x)＝(x>0)，则f ′(x)2222310＝x2－5x，令f ′(x)>0，得x>， 23n3－5n210令f ′(x)<0，得0