4-1-5_图形的分割与拼接[题库教师版

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作三角形的中位线,旋转180°即可转化为平行四边形,然后拼成长方形,如右下图.

方法一: 方法二:

【巩固】试将任意一个矩形分成两块,然后拼成一个三角形.

方法一: 方法二:

【解析】 方法一:考虑到矩形沿对角线可以分成两个相同的三角形,两个完全相同的三角形即可拼成一个

大的三角形,如左上图所示.

方法二:连接矩形一个角与一边中点的连线,将分割出的三角形沿中点处旋转180°即可,如右上图

所示.

【巩固】试将任意一个矩形分成三块,然后拼成一个三角形.

方法一: 方法二:

【解析】 将例题逆推即可.

【例 38】 把一个正方形分成8块,再把它们拼成一个正方形和一个长方形,使这个正方形和长方形的面

积相等.

【解析】 连接正方形的对角线,把正方形分成了4个相等的等腰直角三角形,再连接各腰中点,又把它们分

成4个小等腰直角三角形和4个等腰梯形.(如图⑴所示),出于分成正方形、长方形面积相等的要求考虑:分别取出两个小等腰直角三角形和两个梯形,就能一一拼出所要求的正方形和长方形了(如图⑵、⑶所示).

5184372635162784 ⑴ ⑵ ⑶

【例 39】 有一块长8米、宽3米的长方形地毯,现在要把它移到长6米、宽4米的新房间里.请找出一

种剪裁方法,使剪后的各块拼合后正好能铺满房间的地面,为了使剪后的地毯尽量完整,就要使剪裁的块数尽可能地少,应怎样剪拼?

【解析】 地毯的面积为8?3?24平方米,新房间的面积为6?4?24平方米,两者虽然长、宽不相等,但面积

相等.通过对比不难发现:地毯的长比房间的长多2米,房间的宽比地毯的宽多1米,因此,我们可以把地毯看做由12个2?1(平方米)的小长方形组成的大长方形,如左下图所示,要达到题目的要求,只要使原地毯的长缩短一小格.即减少2米,使原地毯的宽增加一小格,即增加1米,我们可以沿对角线的方向,把它剪成阶梯形的两块,并使它们的形状和大小完全相同,如中间图,然后把它们错位互相拼接在一起,即阴影部分先向上平行移动1米,再向右平行移动2米,即得右下图.

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【例 40】

如何把一个长20厘米、宽12厘米的长方形切成两块,拼成一个长16厘米、宽15厘米的新长方形.

4343434334

3

43434

图d 图e 【解析】 因为原长方形比新长方形的长多4厘米,新长方形比原长方形的宽多3厘米,因此我们把原长方形

分成20个长4厘米,宽3厘米的小长方形.因为新长方形的长为16厘米,所以原长方形的长应减少一个小长方形,而新长方形的宽为15厘米,所以原长方形的宽应增加一个小长方形.可以沿对角线的方向,把它切成k阶梯状的两块,并使他们的形状和大小完全相同,然后把它们相互错位交在一起,即白色部分往上爬了一个台阶,这样便拼成了一个新的长方形.

具体操作中可按图d中的粗线把长方形分成两块,一移一错一对,便可得到如图e所示的长为16 厘米,宽为15厘米的新长方形.

【例 41】 长方形长24厘米,宽15厘米.把它剪成两块,使它们拼成一个长20厘米,宽18厘米的长方

形.

444154342433203418443343343343

【解析】 长方形面积?24?15?360(平方厘米),拼成的长方形面积?20?18?360(平方厘米),面积相等,只

是长、宽不等,但它们都可以分成30个4×3的小长方形,拼成的长方形的一半应有15个4?3的小长方形,即5?4?3?2?1?15.所以才有如上图的剪切方法.

【例 42】 如下图长方形的长、宽分别为120厘米、90厘米,正中央开有小长方形孔,长为80厘米,宽

为10厘米,要拼成面积为100平方厘米的正方形.问如何切分,能使划分的块数最少.

【解析】 切分前面积为120?90?80?10?10000(平方厘米),应与拼成后的正方形面积相等.拼成后正方形的

边长x?100厘米.因为:100?120?20?90?10.假设上图切成两块如下左图,然后将右块向上平

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移10厘米,再向左平移20厘米,就拼成了一个正方形,切分线不可能是直线,一定是折线段.切分后的两块类似阶梯形,然后由两个阶梯互相啮合,组成一个正方形,如下右图.

201020102010201010201020102010

【例 43】

把下图中两个图形中的某一个分成三块,最后都拼在一起,使它们成为一个正方形.

107乙4210甲5

【解析】 不管分其中的哪一块,最后拼得正方形的面积与图中两块面积和相等,甲面积?10?5?50(平方厘

米);乙面积?10?7?(7?2)?4?70?20?50(平方厘米).

所以甲面积?乙面积?50?50?100(平方厘米),也就是最后拼得正方形的边长为10厘米.甲、乙两图形各有一边是10厘米,可视为正方形的一条边,然后把乙剪成三块(如右下图所示)拼成的正方形,即可.

6223327乙4210525105

【例 44】 如下图两个正方形的边长分别是a和b(a ?b),将边长为a的正方形切成四块大小、形状都相同

的图形,与另一个正方形拼在一起组成一个正方形.

DEMC

ⅡOFⅡⅠⅠbaabbANⅢOⅣⅢ

⑴ ⑵ ⑶ 【解析】 拼成大正方形的面积应是a?a?b?b,设边长c,则有等式c?c?a?a?b?b,又因为将边长为a的

正方形切成四个全等形,那么分割线一定经过正方形中心,假设切割线MN为大正方形边长,如图

(a?b)?2,⑴,一定有MN?MN?a?a?b?b,而MH?a,则:NH?b,所以AN?CM?BH?由此可以确定MN,然后将MN绕中心O旋转90o到EF位置,即可把正方形切成符合要求的4块.如

图⑵与图⑶.这种分法同时确保图⑶的中间部分就是边长为b的小正方形.这是因为: ⑴中心四边形的角即边长为a的正方形的四个角,∠A,∠B,∠C,∠D,又因为各边长度相等.因此中心四边形是正方形.

(a?b)?2]?(a?b)?2?a?(a?b)?b. ⑵中心正方形的边长?[a?因此,中间部分是边长为b的正方形.

【例 45】

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HBⅣ如下图所示,这是一张十字形纸片,它是由五个全等正方形组成,试沿一直线将它剪成两片,

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然后再沿另一直线将其中一片剪成两片,使得最后得到的三片拼成两个并列的正方形.

甲’甲乙 ’乙

【解析】 实际拼成两个并列的正方形就是一个长方形,其长是宽的2倍,设十字形面积是5个平方单位,长

方形的长为x长度单位,宽为

xx2222长度单位,那么有x?5,x?10,即x?3?1,由勾股定理可22知:所求长方形的长可视为一直角三角形直角边分别是3和1的斜边.它恰是两个对角顶点的连线.剪

拼方法如右图所示,甲拼在甲′位置,乙拼在乙′位置,就可得符合题意的图形.

【总结】假若沿第二条线把另一片也剪成两片,那么共剪成的4片是4个全等多边形,这时两条直线都经过

十字形的中心,并且互相垂直.剪开的这4个图形其中一个绕中心旋转90o也和另一个重合.由此我们便得到一个重要结论:对于一个正方形来讲,如果从中心沿360o?4?90o角的两边切开,得到整

111个图形的,这个的图形若绕中心旋转90o一定和另外的的图形重合.对于一个正三角形来讲,

44411如果从中心沿360o?3?120o角的两边切开,得到整个图形的,这个的图形若绕中心旋转120o一

33360o1定也和另外的的图形重合.一般情况:对于一个正n边形,如果从它的中心沿的角的两边剪

n3o360111开,得到整个图形的,这个的图形若绕中心旋转角,一定也和另一个图形重合.

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