第一章
rururu给定三个矢量A，B，C：
ruuruururuuA=ax+2ay-3az uuruururB= -4ay+az
uruuruurC=5ax-2az
uruur求：⑴矢量A的单位矢量aA；
urur⑵矢量A和B的夹角?AB； urururur⑶A·B和A?B
rurururuurur⑷A·（B?C）和（A?B）·C；
rurururuurur ⑸A?（B?C）和（A?B）?C
ururruuuurAuuruurA解：⑴aA=u=（ax+2ay-3az）/14 r=
1?4?9A
⑵cos?
ururABrurururu=A·B/AB
?AB=135.5o
ruuruuuururururur⑶A·B=?11, A?B=?10ax?ay?4az
rururu⑷A·（B?C）=?42
ururur（A?B）·C=?42
ruuruuruurururu⑸A?（B?C）=55ax?44ay?11az
uruuuuruurrurur（A?B）?C=2ax?40ay+5az
uurruur有一个二维矢量场F(r)=ax（?y）+ay(x)，求其矢量线方程，并定性画出该矢量场图形。
解：由dx/(?y)=dy/x,得x+y=c
求数量场?=ln（x+y+z）通过点P（1，2，3）的等值面方程。 解：等值面方程为ln（x+y+z）=c
22222222则c=ln(1+4+9)=ln14 那么x+y+z2=14
22z求标量场?（x,y,z）=6xy+e在点P（2，-1，0）的梯度。
32r??uuuurzuuuur??uur??uurr232解：由??=ax+ay+az=12xyax+18xyay+eaz得
?y?x?z
uuruuuurr??=?24ax+72ay+az
22 在圆柱体x+y=9和平面x=0，y=0,z=0及z=2所包围的区域，设此区域的表面为S:
ur⑴求矢量场A沿闭合曲面S的通量，其中矢量场的表达式为
rr2uuuururuuA=ax3x+ay（3y+z）+az(3z?x)
urur?A?dS+
??解：⑴?A?ds=
曲⑵验证散度定理。
曲urur232=A?dS(3?cos??3?sin??zsin?)d?d?= ??xoz?ururA?dS+
yoz?ururururururA?dS+?A?dS+?A?dS
上下xoz?ururA?dS=
曲yoz?ururA?dS=?xoz?(3y?z)dxdz=?6
yoz?3xdydz=0
2
urururur27+=+=A?dSA?dS(6??cos?)?d?d??cos?d?d?? ????2上下上下
??A??ds=193
?⑵???AdV=?(6?6x)dV=6?(?cos??1)d?d?dz=193
V???即：?A?ds=???AdV
sVVVurr2ruuuruu222 求矢量A=axx+ayxy沿圆周x+y=a的线积分，再求??A对此圆周所包围的表面积
分，验证斯托克斯定理。
???42解：?A?dl=?=a xdx?xydy?l4L
uruur2??A=azy
???4222???A?dsydS?sin?d?d?===a ?S????4SS????即：?A?dl=???A?ds，得证。
lS求下列标量场的梯度：
⑴u=xyz+x
2r?uuuuuruur?uuur?uuuruur=++=(yz+zx)+xz+?uaxayayazaxazxy
?y?x?z22
⑵u=4xy+yz?4xz
r?uuuuuruur?uuur?uuuruur22+ay+a=a(8xy-4z)+ay(4x+2yz)+az(y?4x) ?u=ax?yz?zx?x
r?uuuuuruur?uuur?uuuruur⑶?u=ax+ay+az=ax3x+ay5z+az5y
?y?x?z 求下列矢量场在给定点的散度
??A?Ay?A22⑴??A=x++z=3x+3y+3|(1,0,?1)=6
?x?y?z?⑵??A=2xy+z+6z|(1,1,0)=2
求下列矢量场的旋度。
urr⑴??A=0
uruuruurruur⑵??A=ax（x?x）+ay（y?y）+az（z?z）=0
已知直角坐标系中的点P(x,y,z)和点Q(x’,y’,z’),求：
urr'⑴P的位置矢量r和Q点的位置矢量r；
ur⑵从Q点到P点的距离矢量R； r?⑶??r和??r；
1Rruuruurruu解：⑴r=axx+ayy+azz;
⑷?()。
uruuuurruur'r=axx’+ayy’+azz’
ruuuurruururru'⑵R=r?r=ax（x?x’）+ay（y?y’）+az（z?z’）
rr?⑶??r=0, ??r=3