第五章 定 积 分
定积分是积分学的另一个基本问题。我们首先从几何和力学的问题引进定积分的定义，再讨论其性质及计算方法。在学习定积分中要注意如下几个要点： 一、理解定积分的几何意义和物理意义；
二、深刻理解定积分定义的实质：定积分是一个和式的极限。并注意到定积分定义中对
函数的要求是函数为闭区间上的“有界”函数。
三、理解积分上限函数的意义：它是Newton-Lebnize公式的基础。从几何的角度来说，
它是面积的函数。掌握积分上限函数的求导方法及相应的应用。
四、掌握Newton-Lebnize公式的意义：用不定积分求定积分。Newton-Lebnize公式建
立了不定积分与定积分之间的关系，它是微积分的基础之一。正因为定积分中有积分限的存在，使得某些积分有一些特殊的形式。这一点大家在学习时要特别注意。 教学目的：
1．理解定积分的概念。
2．掌握定积分的性质及定积分中值定理，掌握定积分的换元积分法与分部积分法。 3．理解变上限定积分定义的函数，及其求导数定理，掌握牛顿—莱布尼茨公式。 4．了解反常积分的概念并会计算反常积分。 教学重点：
1．定积分的性质及定积分中值定理 2．定积分的换元积分法与分部积分法。 3．牛顿—莱布尼茨公式。 教学难点：
1．定积分的概念 2．积分中值定理
3．定积分的换元积分法分部积分法。 4．变上限函数的导数。
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§5? 1 定积分的概念与性质
内容提要：定积分的定义；定积分的存在定理；定积分的几何意义；定积分的性质；典型
问题：估计积分值，不计算定积分比较积分大小
重点分析：定积分的实质：特殊和式的极限；利用定义求定积分；估值性质；积分中值
定理的几何意义及应用
难点分析：利用定义求定积分；利用估值性质估计积分的值 一、从阿基米德的穷竭法谈起
【引例】从曲线y?ex与直线x?0，x?2，y?0 所围图形的面积A。
2n 在[0,2]内插入n?1个等分点x?i得曲线上点 (?i(i?0,1,?,n)，
2n2?i,en)，
?i过这些点分别向x轴，y轴引垂线，得到阶梯形。它们的面积分别为：
2?1An大?en?2n2n?2n22?en1?2?22n22?en?3?2n32???en2?n?2n2[(en)2?(en)2?(en)n???(en)]22n
??en?[1?(en)]2?2?(1?e)?en21?en22n?(1?en)22An小?e?n?0?2n2n?e)0n?1?2n2n1?en?2?)2n2???en?(n?1)?2n2n2n22[(e?(e2n)?(en???(en)n?1]
??1?(e)n2?2(1?e)221?en2n?(1?en)n???limn?(1?e)令2n2n?tt?0?0lim2?(1?e)t0t??2
2(1?e)?2?An小?A?An大?A?e?1
22(1?e)?e?22(n??)
故可得到面积值为
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为了便于理解阿基米德的思想，我们先引入曲边梯形的概念。
曲边梯形：由连续曲线y?f(x)、x轴与直线x?a、x?b所围成的图形。
根据这一定义，引例所求图形的面积便是一个曲边梯形的面积。运行程序gs0501.m，可更深刻地了解阿基米德穷竭法思想。
y y?f(x)A??o a 147679609.doc
b x
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二、问题的提出 （思想：化零为整求近似，聚零为整取极限） 实例1 （求曲边梯形的面积）设y?f(x)在区间?a,b?上非负、连续。
（1）分割：在[a,b]内插入n?1个分点，a?x0?x1?x2???xn?1?xn?b,把[a,b]分成n个小区间[xi?1,xi]，区间长度为?xi?xi?xi?1，相应把曲边梯形分割成n个小曲边梯形?Ai，（i?,； 1?,n）
（2）求近似：?取?i?[xi?1,xi]， ?Ai?f(?i)?xi，（i?1,?,n）
nni（3）求和：故曲边梯形面积的近似值为A???Ai?1??i?1f(?i)?xi；
（4）取极限：设??max{?x1,?x2,??xn}，当分割无限加细，即??0时，
nA?lim??0?i?1f(?i)?xi。
实例2 （求变速直线运动的位移）
设某物体作直线运动，已知速度v?v(t)是时间间隔[T1,T2]上t的一个连续函数，且v(t)?0，求物体在这段时间内所经过的位移。
（1）分割：T1?t0?t1?t2???tn?1?tn?T2，?ti?ti?ti?1，i?1,?,n； （2）近似：?si?v(?i)?ti，?i??ti?1,ti?，i?1,?,n
n（3）求和：s??v(?i?1i)?ti；
n（4）取极限：??max{?t1,?t2,?,?tn}?0， s?lim??0?v(?i?1i)?ti。
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从上述两例中可看出：要计算的量虽不同（几何、物理），但都决定于一个函数及其变量区间，另外其计算方法与步骤相同，因此可归结为一种特定和的极限。 三、定积分的定义 1、定义
抛开上述问题的具体意义? 抓住它们在数量关系上共同的本质与特性加以概括? 就抽象出下述定积分的定义。
定义1：设f(x)在[a,b]上有界，在[a,b]中任意插入n?1个分点
a?x0?x1?x2???xn?1?xn?b，
把[a,b]分成n个小区间，各小区间的长度为?xi?xi?xi?1，(i?1,2,?)，在各小区
n间上任取一点?i（?i??xi），作乘积f(?i)?xi (i?1,2,?)并作和S??i?1f(?i)?xi，
记??max{?x1,?x2,?,?xn}，若不论对[a,b]怎样的分法，也不论在小区间[xi?1,xi]上点?i怎样的取法，只要当??0时，和S总趋于确定的极限I，我们称这个极限I为
f(x)在区间[a,b]上的定积分，记为?f(x)dx，即
ab?bnaf(x)dx?I?lim??0?i?1f(?i)?xi。
注意：（1）精确定义：若对于任意给定的??0，总???0，使不论对[a,b]的任意分
n法，也不论点?i在[xi?1,xi]上怎样的取法，只要???，总有
b?i?1f(?i)?xi?I??成
立，则称常数I为f(x)在区间[a,b]上的定积分，记为?f(x)dx；
a（2）积分值仅与被积函数及积分区间有关，而与积分变量的字母无关，其值是与
f(x),a,b有关的常数，故?f(x)dx ?ab?baf(t)dt ??baf(u)du；
（3）定义中区间的分法和?i的取法是任意的；
n（4）?f(?i)?xi称f(x)的积分和，?f(x)dx存在时，称f(x)在[a,b]上可积。
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