6．3.1 平面向量基本定理
考点 平面向量基本定理 学习目标 理解平面向量基本定理及其意义，了解向量基底的含义 掌握平面向量基本定理，会用基底表示平面向量 核心素养 数学抽象 平面向量基本定理的应用 数学抽象、数学运算
问题导学
预习教材P25－P27的内容，思考以下问题： 1．基底中两个向量可以共线吗？ 2．平面向量基本定理的内容是什么？
平面向量基本定理
条件 结论 e1，e2是同一平面内的两个不共线向量 对于这一平面内的任一向量a，有且只有一对实数λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2 若e1，e2不共线，把{e1，e2}叫做表示这一平面内所有向量的一个基底 基底 ■名师点拨 (1)e1，e2是同一平面内的两个不共线的向量，{e1，e2}的选取不唯一，即一个平面可以有多个基底．
(2)基底{e1，e2}确定后，实数λ1，λ2是唯一确定的．
判断(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)基底中的向量不能为零向量．( )
(2)平面内的任何两个向量都可以作为一个基底．( )
(3)若a，b不共线，且λ1a＋μ1b＝λ2a＋μ2b，则λ1＝λ2，μ1＝μ2. ( ) (4)平面向量的基底不唯一，只要基底确定后，平面内的任何一个向量都可被这个基底唯一表示．( )
答案：(1)√ (2)× (3)√ (4)√
设e1，e2是同一平面内两个不共线的向量，以下各组向量中不能作为基底的是( )
A．2e1，3e2 C．e1，5e2 答案：B
B．e1＋e2，3e1＋3e2 D．e1，e1＋e2
→→→
若AD是△ABC的中线，已知AB＝a，AC＝b，则以{a，b}为基底表示AD＝( ) 1
A.(a－b) 21
C.(b－a) 2
1
B.(a＋b) 21
D.b＋a 2
→
解析：选B.如图，AD是△ABC的中线，则D为线段BC的中点，从而BD＝→
DC，即AD－AB＝AC－AD，从而AD＝(AB＋AC)＝(a＋b)．
→→→→
→1→→
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平面向量基本定理的理解
设e1，e2是不共线的两个向量，给出下列四组向量：
①e1与e1＋e2；②e1－2e2与e2－2e1；③e1－2e2与4e2－2e1；④e1＋e2与e1－e2. 其中，不能作为平面内所有向量的一组基底的是________(写出满足条件的序号)．
?λ＝1，?
【解析】 ①设e1＋e2＝λe1，则?无解，
?1＝0，?
所以e1＋e2与e1不共线，即e1与e1＋e2能作为一组基底． ②设e1－2e2＝λ(e2－2e1)，则(1＋2λ)e1－(2＋λ)e2＝0，
??1＋2λ＝0，
则?无解，所以e1－2e2与e2－2e1不共线，即e1－2e2与e2－2e1能作为一组基?2＋λ＝0，?
底．
1
③因为e1－2e2＝－(4e2－2e1)，
2所以e1－2e2与4e2－2e1共线，
即e1－2e2与4e2－2e1不能作为一组基底．
?1－λ＝0，?
④设e1＋e2＝λ(e1－e2)，则(1－λ)e1＋(1＋λ)e2＝0，则?无解，所以e1＋e2
?1＋λ＝0，?
与e1－e2不共线，即e1＋e2与e1－e2能作为一组基底．
【答案】 ③
对基底的理解
(1)两个向量能否作为一个基底，关键是看这两个向量是否共线．若共线，则不能作基底，反之，则可作基底．
(2)一个平面的基底一旦确定，那么平面上任意一个向量都可以用这个基底唯一线性表示出来．设向量a与b??x1＝x2，
是平面内两个不共线的向量，若x1a＋y1b＝x2a＋y2b，则?
?y1＝y2.?
[提醒] 一个平面的基底不是唯一的，同一个向量用不同的基底表示，表达式不一样．
1．设点O是?ABCD两对角线的交点，下列的向量组中可作为这个平行四边形所在平面上表示其他所有向量的基底的是( )
→→→→→→→→
①AD与AB；②DA与BC；③CA与DC；④OD与OB. A．①② C．①④
B．①③ D．③④
→→→→→
解析：选B.寻找不共线的向量组即可，在?ABCD中，AD与AB不共线，CA与DC不共线；而DA→→→
∥BC，OD∥OB，故①③可作为基底．
2．点O为正六边形ABCDEF的中心，则可作为基底的一对向量是( )
→→
A.OA，BC →→C.AB，CF
→→B.OA，CD →→D.AB，DE
→→→→→→→→
解析：选B.由题图可知，OA与BC，AB与CF，AB与DE共线，不能作为基底向量，OA与CD不共线，可作为基底向量．
用基底表示平面向量
如图所示，在?ABCD中，点E，F分别为BC，DC边上的中点，DE与BF交于点G，
→→→→若AB＝a，AD＝b，试用基底{a，b}表示向量DE，BF.
→→→→
【解】 DE＝DA＋AB＋BE