2017-2018学年四川省内江市高二下学期期末考试
数学试卷（理科）
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的。 1．椭圆A．2
+B．2
=1的长轴长是（ ） C．4
D．4
2．设函数f（x）=A．0
B．
C．﹣
，则f′（π）=（ ） D．﹣
3．设i为虚数单位，a，b∈R，则“a=0”是“复数a+bi是纯虚数”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 4．若直线l的方向向量为=（1，0，2），平面α的法向量为=（﹣2，0，﹣4），则（ ） A．l∥α B．l⊥α
C．l?α D．l与α相交但不垂直
5．在如图的空间直角坐标系中，正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为1，P是线段BD1上的一点，且BP=2PD1，则点P的坐标是（ ）
A．（，，） B．（，，） C．（，，） D．（，，） 6．下列有关命题的说法正确的是（ ）
A．命题“若x2=1，则x=1”的否命题为：“若x2=1，则x≠1”
B．命题“?x∈R，使x2+x+1＜0”的否定为：“?x∈R，使x2+x+1＜0” C．命题“若f（x）=x3﹣2x2+4x+2，则2是函数f（x）的极值点”为真命题
D．命题“若抛物线的方程为y=﹣4x2，则焦点到其准线的距离为”的逆否命题为真命题
7．直线l经过抛物线y2=4x的焦点，且与抛物线交于A，B两点，若AB的中点横坐标为3，则线段AB的长为（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
8．函数f（x）=1nx﹣x3+1的零点个数为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
9．如图，直线l和圆C，当l从l0开始在平面上绕点O按逆时针方向匀速转动（转动角度不超过90°）时，它扫过的圆内阴影部分的面积S是时间t的函数，这个函数的图象大致是（ ）
A． B． C．
D．
10．已知双曲线率的值为（ ） A．
B．
﹣=1（a＞0，b＞0）被斜率为1的直线截得的弦的中点为（4，1），则该双曲线离心
C． D．
11．某单位安排甲、乙、丙三人在某月1日至I2日值班，每人4天，
甲说：我在2日和3日都有值班； 乙说：我在8日和9日都有值班；
丙说：我们三人各自值班的日期之和相等． 据此可判断丙必定值班的日期有（ ）
A．6日和12日 B．5日和6日 C．1月和5月 D．1月和11日 12．设a，b是两个不相等的正数，且alna+b=blnb+a，则（ ） A．（a﹣1）（b﹣1）＞0 B．0＜a+b＜2 C．ab＞1 D．0＜ab＜1
二、填空题:本大题共4小题。每小题5分，共20分. 13．复数
在复平面上对应的点在第_______象限．
14．已知双曲线C与椭圆3x2+8y2=24有相同的焦点，且双曲线C的渐近线方程为y=±2x，则双曲线C的标准方程为_______．
15．若命题“?x0∈（0，+∞），使lnx0﹣ax0＞0”是假命题，则实数a的取值范围是_______． 16．设椭圆x2+
=1上恰有两点到直线y=x+4的距离等于
，则m的取值范围为_______．
三、解答题：本大题共6小题，共70分。解答写出文字说明、证明或验算步骤 17．已知函数f（x）=2x3﹣6x2+1． （1）求函数f（x）在点（1，f（1））处的切线方程； （2）求函数f（x）在[﹣1，3]上的最小值．
18．如图，四棱锥P﹣ABCD的底面是直角梯形，AB∥CD，AB⊥AD，PA=CD=AD=2AB=2，PA⊥底面ABCD，E是PC的中点．
（1）求证：BE∥面PAD；
（2）求直线BE与平面PAB所成角的正弦值．
19．在抛物线y2=16x上任取一点P，过点P作x轴的垂线PD，垂足为D，当P在抛物线上运动时，线段PD的中点M的轨迹为曲线C． （1）求曲线C的轨迹方程；
（2）设O为原点，过点（1，0）的直线l与曲线C交于A、B两点，求△AOB的面积的最小值．
20．如图，三棱柱ABC﹣A1B1C1的各棱长为2，侧面BCC1B1⊥底面ABC，∠B（1）求证：BC⊥AB1；
（2）求二面角C1﹣B1C﹣P的余弦值．
BC=60°，P为A1C1的中点．
21．已知椭圆C的中心在坐标原点，经过两点P（2，0）和Q（1，）．
（1）求椭圆C的方程；
（2）设过原点的直线l1与椭圆C交于A，B两点，过椭圆C的右焦点的直线l2与椭圆C交于M，N两点，且l1∥l2，是否存在常数λ，使得|AB|2=λ|MN|？若存在，请求出λ的值； 若不存在，请说明理由．
22．已知函数f（x）=ex﹣x2ex，其中a∈R，e=2.71828…为自然对数的底数．
（1）讨论函数f（x）在区间（0，+∞）上的单调性；
（2）对于区间（0，1）上任意一个实数a，是否存在x＞0，使得f（x）＞x+1？若存在，请求出符合条件的一个x，若不存在，请说明理由．