学业分层测评(四)
第2章 2.1.1 第2课时 类比推理
(建议用时：45分钟)
一、填空题
底×高
1.已知扇形的弧长为l，半径为r，类比三角形的面积公式：S＝，可推知扇形面
2积公式S扇＝________.
【解析】 扇形的弧长类比三角形的底，扇形的半径类比三角形的高，所以S扇形＝.
2【答案】
lrlr2
2.数列{an}是正项等差数列，若bn＝
a1＋2a2＋3a3＋…＋nan，则数列{bn}也为等差数列，
1＋2＋3＋…＋n类比上述结论，正项等比数列{cn}，若dn＝________，则数列{dn}也为等比数列.
【解析】 ∵根据等差数列构造的新的等差数列是由原来的等差数列和下标一致的数字倍的和，除以下标的和，∴根据等比数列构造新的等比数列，乘积变化为乘方c1c2c3…cn，原来的除法变为开方(c1c2c3…cn)
23
23
nn1
.
1＋2＋3＋…＋n123n【答案】 (c1c2c3…cn)
1＋2＋3＋…＋n3.由代数式的乘法法则类比推导向量的数量积的运算法则： ①“mn＝nm”类比得“a·b＝b·a”；
②“(m＋n)t＝mt＋nt”类比得“(a＋b)·c＝a·c＋b·c”； ③“|m·n|＝|m|·|n|”类比得“|a·b|＝|a|·|b|”； ④“＝”类比得“
acabcba·ca＝”. b·cb以上的式子中，类比得到的结论正确的序号是________. 【解析】 ①②均正确，③④不正确. 【答案】 ①②
1
4.已知正三角形内切圆的半径是高的，把这个结论推广到空间正四面体，类似的结论3是________.
111
【解析】 原问题的解法为等面积法，即正三角形的面积S＝ah＝3×ar?r＝h.
223111
类比，用等体积法，V＝Sh＝4×r·S?r＝h.
334
1
【答案】 正四面体的内切球的半径是高的 4
e-ee＋e
5.已知双曲正弦函数sh x＝和双曲余弦函数ch x＝与我们学过的正弦函数22和余弦函数有许多类似的性质，请类比正弦函数和余弦函数的和角公式，写出双曲正弦或双曲余弦函数的一个类比的正确结论________.
【解析】 类比结论为ch(x-y)＝ch xch y-sh xsh y. e＋ee＋ee-ee-e
证明：右边＝·-·
22221x＋yx-y-x＋y-x-yx＋yx-y-x＋y-x-y＝(e＋e＋e＋e-e＋e＋e-e) 41e＋e＝＝42
x-y-x-yx-xx-xx-xy-yx-xy-y＝ch(x-y)＝左边.
【答案】 ch(x-y)＝ch xch y-sh xsh y(答案不惟一)
6.已知{bn}为等比数列，b5＝2，则b1b2b3…b9＝2.若{an}为等差数列，a5＝2，则{an}的类似结论为________.
【解析】 结合等差数列的特点，类比等比数列中b1b2b3…b9＝2可得，在{an}中，若
9
9
a5＝2，则有a1＋a2＋a3＋…＋a9＝2×9.
【答案】 a1＋a2＋a3＋…＋a9＝2×9
7.二维空间中圆的一维测度(周长)l＝2πr，二维测度(面积)S＝πr，观察发现S′＝l；432
三维空间中球的二维测度(表面积)S＝4πr，三维测度(体积)V＝πr，观察发现V′＝S.
3已知四维空间中“超球”的三维测度V＝8πr，猜想其四维测度W＝________.
【解析】 因为V＝8πr，所以W＝2πr，满足W′＝V. 【答案】 2πr
8.对于等差数列{an}有如下命题：“若{an}是等差数列，a1＝0，s，t是互不相等的正整数，则有(s-1)at＝(t-1)as”类比此命题，给出等比数列{bn}相应的一个正确命题是：“________”.
【解析】 首先，需要类比写出b1＝1，然后写出bt＝q，bs＝q，即可发现：bt＝
-1bts.
4
3
43
2
t-1s-1s-1
【答案】 若{bn}为等比数列，b1＝1，s、t是互不相等的正整数，则有bt＝bs. 二、解答题
9.如图2-1-11，在三棱锥S-ABC中，SA⊥SB，SB⊥SC，SA⊥SC，且SA，SB，SC和底面
s-1t-1
ABC所成的角分别为α1，α2，α3，三侧面△SBC，△SAC，△SAB的面积分别为S1，S2，S3.
类比三角形中的正弦定理，给出空间情形的一个猜想.
图2-1-11
【解】 在△DEF中，
由正弦定理， 得
＝＝. sin Dsin Esin Fdef于是，类比三角形中的正弦定理， 在四面体S-ABC中，
猜想＝＝成立.
sin α1sin α2sin α3
10.在Rt△ABC中，AB⊥AC，AD⊥BC于D，求证：类比上述结论，你能得到怎样的猜想，并说明理由.
【解】 证明：如图所示，由射影定理，AD＝BD·DC，AB＝BD·BC，AC＝BC·DC，
2
2
2
S1S2S3
1
AD2＝
1
AB2＋1
AC2.那么在四面体ABCD中，
∴1
AD2
＝
1
BD·DCBC2BC2
＝＝. BD·BC·DC·BCAB2·AC2又BC＝AB＋AC，
2
2
2
AB2＋AC211
∴2＝2＝＋. ADAB·AC2AB2AC2
1
猜想四面体ABCD中，AB、AC、AD两两垂直，AE⊥平面BCD. 则1
AE2
＝
1
AB2
＋1
AC2
＋
1
AD2
. 证明：如图，连接BE并延长交CD于F，连接AF.