4.5 利用傍轴条件计算被一准单色点光源照明，距离光源为z的平面上任意两点P1和P2之间的复相干系数μ(P1 ,P2) .
解：设光源所在平面的坐标为α ，β；孔平面的坐标为x ,y。点P1和P2的坐标为(x1 ,y1)和(x2 ,y2)。对于准单色点光源，其强度可表为
I(?,?)?I0?(???1,???1) 在傍轴近似下，由范西泰特－策尼克定理得
?(P1,P2)??2??exp(j?)??I0?(???1,???1)exp??j(?x???y?)?d?d??z????????I?(???,???)d?d?011??
?2?2??2??2?exp?j(x2?y2?x12?y12)?exp??j(?x?1??y?1)??z??z???因为
?(P1,P2)?1,由点光源发出的准单色光是完全相干的，或者说x,y面上的相干面
积趋于无限大。
第六章 计算全息
6.1 一个二维物函数f ( x, y)，在空域尺寸为10×10mm，最高空间频率为5线/mm，为
了制作一张傅里叶变换全息图：
(1) 确定物面抽样点总数.
(2) 若采用罗曼型迂回相位编码方法，计算全息图上抽样单元总数是多少？ (3) 若采用修正离轴参考光编码方法，计算全息图上抽样单元总数是多少？ (4) 两种编码方法在全息图上抽样单元总数有何不同？原因是什么？
解：(1)假定物的空间尺寸和频宽均是有限的。设物面的空间尺寸为Δx,Δy；频宽为2Bx,2By.根据抽样定理，抽样间距δx,δy必须满足δx≤1/2Bx, δy≤1/2By才能使物复原。故抽样点总N(即空间带宽积SW)为
N??x?y???x?y(2Bx)(2By)?SW?10?10?(2?5)?(2?5)?104 ?y?y(2)罗曼计算全息图的编码方法是在每一个抽样单元里用开孔的大小和开孔的位
置来编码物光波在该点的振幅和相位。根据抽样定理，在物面上的抽样单元数应为物面的空间带宽积，即N?SW?10。要制作傅里叶变换全息图，为了不丢失信息，空间带宽积应保持不变，故在谱面上的抽样点数仍应为N?10.
(3)对于修正离轴参考光的编码方法，为满足离轴的要求，载频α应满足α≥Bx 为满足制作全息图的要求，其抽样间隔必须满足δx≤1/2Bx, δy≤1/2By。因此其抽样点数为
N?44?x?y???x?y(4Bx)(2By)?10?10?20?10?2?104 ?y?y13
(4)两种编码方法的抽样点总数为2倍关系，这是因为，在罗曼型编码中，每一抽样单元编码一复数；在修正离轴型编码中，每一抽样单元编码一实数。
修正离轴加偏置量的目的是使全息函数变成实值非负函数，每个抽样单元都是实的非负值，因此不存在位置编码问题，比同时对振幅和相位进行编码的方法简便。但由于加了偏置分量，增加了记录全息图的空间带宽积，因而增加了抽样点数。避免了相位编码是以增加抽样点数为代价的。
6.2 对比光学离轴全息函数和修正型离轴全息函数，说明如何选择载频和制作计算全息图的抽样频率.
解：设物的频宽为(2Bx,2By)
(1)对于频宽α的选择 光学离轴，由图6.2.5(b)可知，??3Bx 修正离轴，由图6.2.5(d)可知，??Bx 载频的选择是为了保证全息函数在频域中各结构分量不混叠。
(2)对于制作计算全息图时抽样频率的选择 光学离轴全息，由图6.2.5(c)可知：
在x方向的抽样频率应?8Bx，即x方向的抽样间距?x?1/8Bx。 在y方向的抽样频率应?4By，即x方向的抽样间距?y?1/4By。
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修正离轴全息，由图6.2.5(e)可知：
在x方向的抽样频率应?4Bx，即x方向的抽样间距?x?1/4Bx。 在y方向的抽样频率应?2By，即x方向的抽样间距?y?1/2By。
6.3 一种类似傅奇型计算全息图的方法，称为黄氏(Huang)法，这种方法在偏置项中加入物函数本身，所构成的全息函数为
h(x,y)?1A(x,y)?1?cos[2?ax??(x,y)]? 2(1) 画出该全息函数的空间频率结构，说明如何选择载频.
(2) 画出黄氏计算全息图的空间频率结构，说明如何选择抽样载频. 解：把全息函数重写为
h(x,y)?
11A(x,y)?A(x,y)exp[j?(x,y)]exp(?j2??x)?24
1A(x,y)exp[?j?(x,y)]exp(j2??x)4物函数为 f(x,y)?A(x,y)exp[j?(x,y)]
并且归一化的，即A(x,y)max?1，参考光波R ＝1。经过处理后的振幅透过率为
t(x,y)?to?11??A(x,y)???A(x,y)exp[j?(x,y)]exp(?j2??x)? 241??A(x,y)exp[?j?(x,y)]exp(j2??x)4
111?to???A(x,y)???f(x,y)exp(?j2??x)???f?(x,y)exp(j2??x)244其频谱为
T(?,?)?to?(?,?)?111??F?(?,?)???F?(???,?)???F?(????,??) 244(1)设物的带宽为2Bx,2By，如图题6.3(a)所示。全息函数的空间频谱结构如图题6.3(b)所示，载频??2Bx。
(2)黄氏全息图的空间频率结构如图题6.3(c)所示，由此可得出： 在x方向的抽样频率应?6Bx，即x方向的抽样间距?x?1/6Bx。 在y方向的抽样频率应?2By，即x方向的抽样间距?y?1/2By。 抽样点数即空间带宽积为N?SW?黄氏计算全息图的特点：
xy?12xyBxBy. ?x?y 15
(1)占用了更大的空间带宽积(博奇全息图的空间带宽积SW?8xyBxBy)，不具有降低空间带宽积的优点。
(2)黄氏全息图具有更高的对比度，可以放松对显示器和胶片曝光显影精度的要求。
6.4 罗曼迂回相位编码方法有三种衍射孔径形式，如图题6.1所示.利用复平面上矢量合成的方法解释，在这三种孔径形式中，是如何对振幅和相位进行编码的.
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