第三章 第四章 25
第三章 刚体的定轴转动
选择题
3－1 如图所示,四个质量相同、线度相同而形状不同的物体,它们对各自的几何对称轴的转动惯量最大的是 （ A ）
（A） (B) (C) (D)
3－2 在上题中,它们对各自的几何对称轴的转动惯量最小的是 （ C ） 3－3 如图所示,P、Q、R、S是附于刚体轻细杆上的四个质点,它们的质量分别为
4m、3m、2m和m,PQ?QR?RS?l,该系统对OO?轴的转动惯量为 （ A ）
(A) 50ml; (B) 14ml; (C) 10ml; (D) 9ml.
2222
3－4 均匀细棒OA,可绕通过点O与棒垂直的光滑水平轴转动,如图所示.如果使棒从水平位置开始下落,在棒到竖直位置的过程中,下列陈述正确的是 （ A ）
(A) 角速度从小到大,角加速度从大到小; (B) 角速度从小到大,角加速度从小到大; (C) 角速度从大到小,角加速度从大到小; (D) 角速度从大到小,角加速度从小到大.
3－5 几个力同时作用在一个具有固定转轴的刚体上.如果这几个力的矢量和为零,则下列陈述正确的是 （ D ）
(A) 刚体必然不会转动; (B) 刚体的转速必然不变;
(C) 刚体的转速必然会变; (D) 刚体的转速可能变,也可能不变.
3－6 在光滑的桌面上开一个小孔,把系在绳的一端质量为m的小球置于桌面上,绳的
第三章 第四章 26
另一端穿过小孔而执于手中.设开始时使小球以恒定的速率v在水平桌面上作半径为r1的圆周运动,然后拉绳使小球的轨道半径缩小为r2,新的角速度?2和原来的角速度?1的关系为
（ B ）
?r(A) ?2=?1?r2?r(C) ?2=?2?r12??r1???=; (B) ?1???1; 2??r2???r2???=; (D) ?1???1. 2??r1?2223－7 在上题中,新的动能和原来的动能之比为 （ A ）
?r??r?rr(A) ?1?; (B) 1; (C) 2; (D) ?2?.
r2r1?r2??r1?3－8 刚体绕定轴高速旋转时,下列陈述正确的是 （ D ）
(A) 它受的外力一定很大; (B) 它受的外力矩一定很大;
(C) 它的角加速度一定很大; (D) 它的角动量和转动动能一定很大. 3－9 芭蕾舞演员绕通过脚尖的竖直轴旋转,当她伸长手臂时的转动惯量为J,角速度为?.她将手臂收回至前胸时,转动惯量减小为
J,此时她的角速度为 （ A ） 311?; (D) ?.
33(A) 3?; (B) 3?; (C) 3－10 三个完全相同的转轮绕一公共轴旋转.它们的角速度大小相同,但其中一轮的转
动方向与另外两个轮相反.今沿轴的方向施力,将三者靠在一起,使它们获得相同的角速度.此时靠在一起后系统的动能与原来三转轮的总动能相比是 （ B ）
(A) 减少到
11; (B) 减少到; 39(C) 增大到3倍; (D) 增大到9倍.
计算题
3－11 一电动机的电枢转速为1800r?min,当切断电源后,电枢经20s停下.求: (1) 切断电源后电枢转了多少圈;
(2) 切断电源后10s时,电枢的角速度以及电枢边缘上一点的线速度、切向加速度和法向加速度(设电枢半径为10cm).
解 (1) 切断电源时,电枢的转速为
?1?0?
1800?2πrad?s?1?60πrad?s?1
60 第三章 第四章 27
电枢的平均角加速度为
??0??0?60π?rad?s?2 ??3.0πrad?s?2 ?t202由?2??0?2???,且??0,可得切断电源后电枢转过的角度为
2??60π???0????rad?600πrad
2?2???3π?2转过的圈数为
N???600π?r?300r 2π2π(2) 切断电源后10s时,电枢的角速度为
???0??t??60π?3.0π?10?rad?s?1?30πrad?s?1
此时电枢边缘上一点的线速度、切向加速度和法向加速度分别为
v?r??0.10?30πm?s?1?3.0πm?s?1?9.42m?s?1at?r???0.10?3.0πm?s?2??0.30πm?s?2??0.942m?s?2 an?r?2?0.10??30π?m?s?2?90π2m?s?2?888m?s?23－12 一飞轮由直径为0.30m、厚度为2.0?10?2m的圆盘和两个直径为0.10m、长为8.0?10?2m的圆柱体组成.设飞轮的密度为7.8?103kg?m?3,求飞轮对转轴的转动惯量.
解 飞轮上的圆盘的半径为r1?0.15m,圆柱体的半径为r2?0.05m. 飞轮上的圆盘质量为
2m1??πr12h1?7.8?103π?0.152?2.0?10?2kg?11.0kg
圆柱体的质量为
m2??πr22h2??7.8?103π?0.052?8.0?10?2kg?4.90kg 飞轮的转动惯量是圆盘和两个圆柱体的转动惯量之和为
1?1J?m1r12?m2r22???11.0?0.152?4.90?0.0522?2?22 kg?m?0.136kg?m??3－13 如图所示,质量分别为2m、3m和4m的三个小球,用长均为l、质量均为m的三根均匀细棒相连,如图所示(小球的半径r??l,可视为质点).求该物件对通过点O垂直于图面的转轴的转动惯量.
解 该物件的转动惯量是三个小球和三根细棒的转动惯量之和为
第三章 第四章 28
1J?2ml2?3ml2?4ml2?3?ml2?10ml2
3
3－14 细棒长为l,质量为m,设转轴通过棒上离中心为h的一点并与棒垂直.求棒对此轴的转动惯量.
解 由平行轴定理,细棒的转动惯量为
J?Jc?mh2?12?1?ml?mh2?m?l2?h2? 12?12?3－15 一个半径为R质量为m的均匀圆盘,挖去直径为R的
一个圆孔,如图所示.求剩余部分对通过圆心O且与盘面垂直的轴的转动惯量.
解 开孔圆盘的转动惯量等于完整圆盘的转动惯量减去位于圆孔部位的被挖去的小圆盘的转动惯量:
?1m?R?2m?R?2?13122J?mR????mR ?????24?2????24?2??323－16 如图所示,某飞轮的直径为0.50m、转动惯量为2.4kg?m、转速为
21.0?103r?min?1.如果制动时闸瓦对轮的压力为490N,闸瓦与轮之间的滑动摩擦因数为
0.4,求制动后飞轮转多少圈才停止.
解 制动前,飞轮的转速为
2π?1.0?103?0?rad?s?1?105rad?s?1
60飞轮所受的制动力矩为
M???FnR??0.4?490?0.25N?m??49N?m
根据转动定律,M?J?,可得制动后飞轮的角加速度为
??M?49?rad?s?2??20.4rad?s?2 J2.42由?2??0?2???,且??0,可得制动后飞轮转过角度为
2??0?1052????rad?270rad
2?2?(?20.4)转过的圈数为
第三章 第四章 29
N???270?r?43.0r 2π2πo3－17 如图所示,一物体质量为5kg,从一倾角为37的斜面滑下,物体与斜面的摩擦因数为0.25.一滑轮装在固定轴O处,轻绳的一端绕在滑轮上,另一端与物体相连.若滑轮可视为是实心圆盘,其质量为20kg、半径为0.2m,绳与轮间无相对滑动,且轮轴的摩擦阻力矩忽略不计.求：
(1) 物体沿斜面下滑的加速度; (2) 绳中的张力.
解 物体和滑轮的示力图以及坐标选取如图所示.图中P为重力,FN为正压力,Fr为摩
?.Ox轴沿斜面向下,Oy垂直于斜面.设物体的质量为m1,滑轮的擦力,FT为张力,FT?FT质量为m2,滑轮的半径为r.
对物体,根据牛顿第二定律,在Ox和Oy方向分别有
m1gsin37o?FT?Fr?m1a
FN?m1gcos37o?0
重力P2和轮轴对滑轮的压力FN2均通过转轴,对转轴的力矩为零.以垂直纸面向里为正
??r?FT?r.对滑轮,根据转动定律,有 方向,滑轮所受的力矩为M?FTFT?r?J?
而
a?r? Fr??FN
J?1m2r2 2