2008高考数学专题训练 三角函数的化简与求值
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知能目标
1. 掌握同角的三角函数的基本关系式: 掌握正弦,余弦的诱导公式;掌握两角和与两角 差的正弦,余弦,正切公式;掌握二倍角的在正弦，余弦,正切公式.
2. 能正确运用三角公式,进行简单三角函数式的化简,求值和恒等式证明.
综合脉络
三角变换是运算化简过程中运用较多的变换, 也是历年高考命题的热点. 提高三 角变换能力, 要学会设置条件, 灵活运用三角公式, 掌握运算、化简的方法和技能. 常 用的数学思想方法技巧如下:
1. 角的变换: 在三角化简、求值、证明中, 表达式往往出现较多的相异角, 可根据角与角之 间的和差、倍半、互补、互余的关系, 运用角的变换, 沟通条件与结论中的差异, 使问题 获解.对角的变形如下:
30???15?45?30?60?45?, ??(???)???(??)?(??),
222?????2??(???)?(???)?(??)?(??),????(??)
44424??特别地, ??与??为互余角, 它们之间可以互相转化, 在三角变形中使用频率高.
44?????2. 函数名称变换: 三角变形中, 常常需要变函数名称为同名函数. 如在三角函数中正余弦是
基础, 通常化切、割为弦, 变异名为同名.
3. 常数代换: 在三角函数运算、求值、证明中, 有时需要将常数转化为三角函数值, 例如常 数“1”的代换变形有: 1?sin??cos??sec??tan??csc??cot?.
4. 幂的变换: 降幂是三角变换时常用方法, 对次数较高的三角函数式, 一般采用降幂处理的
2222221?cos2?1?cos2?,cos2??,sin2??cos2??1 22等, 三角变换时, 有时需要升幂, 如对无理式1?cos?常用升幂化为有理式, 升幂公式与
方法. 常用降幂公式有: sin??2降幂公式是相对而言的.
5. 公式变形式: 三角公式是变换的依据, 应熟练掌握三角公式的直接应用, 逆用以及变形式 的应用. 如: cos??(一) 典型例题讲解:
sin2?,tan??tan??tan(???)(1?tan??tan?)等.
2sin?1?cos2x?8sin2x?例1. (1)当0?x?时，函数f(x)?的最小值为 ( )
2sin2xA. 2 B. 23 C. 4 D. 43
(2) 已知tan
例2. 已知tan
??3, 则cos?? . 2
??6sin??cos??2, 求: (1) tan(??)的值; (2) 的值. 243sin??2cos?例3. 已知A、B、C的坐标分别为A(3, 0), B(0, 3), C(cos?, sin?), ??(, ?23?). 22sin2??sin2?(1) 若|AC|? |BC|, 求角?的值; (2) 若AC?BC??1, 求的值.
1?tan?
例4. 已知??1?x?0,sinx?cosx?. (1) 求sinx?cosx的值; 25xxxx3sin2?2sincos?cos22222的值. (2) 求
tanx?cotx
(二) 专题测试与练习: 一. 选择题
1. tan15??cot15?? A. 2 B. 2?3 C. 4
2. 若f(tanx)?sin2x, 则f(?1)的值为 A. ?sin2 B. ?1 C. 12
3. 已知tan(???)?25,tan(???4)?322,那么tan(???4)? A. 15 B. 1318 C. 14
4. 若?，?均是锐角，且sin2??cos(???), ?与?的关系是 A. ??? B. ??? C. ??? 5. 化简:
1?2sin10cos10= .
cos(?10)?1?cos2170A. 0 B. ?1 C. ?1
6. 已知sin(???4)?7210,且?3??2???4, 求tan(2??4)的值．A. 1732 B. 313117 C. ?17
( ) D. ?23 ( ) D. 1 ( ) D. 1322 ( ) D. ?????2 D. 1
D. ?1731