数列求和的基本方法和技巧
一、总论：数列求和7种方法： 利用等差、等比数列求和公式
错位相减法求和 反序相加法求和 分组相加法求和 裂项消去法求和
分段求和法（合并法求和） 利用数列通项法求和
二、等差数列求和的方法是逆序相加法，等比数列的求和方法是错位相减法，
三、逆序相加法、错位相减法是数列求和的二个基本方法。
一、利用常用求和公式求和
利用下列常用求和公式求和是数列求和的最基本最重要的方法. 1、 等差数列求和公式：Sn?n(a1?an)n(n?1)?na1?d 22(q?1)?na1?n2、等比数列求和公式：Sn??a1(1?q)a1?anq
?(q?1)?1?q?1?qn1123、 Sn??k?n(n?1) 4、Sn??k?n(n?1)(2n?1)
62k?1k?1n5、 Sn?13k?[n(n?1)]2 ?2k?1?123n，求x?x?x?????x????的前n项和. log23?11?log3x??log32?x?
log232n[例1] 已知log3x?解：由log3x?23n 由等比数列求和公式得 Sn?x?x?x?????x （利用常用公式）
1
11(1?n)x(1?x)22＝1－1 ＝＝
11?x2n1?2n
[例2] 设Sn＝1+2+3+…+n，n∈N*,求f(n)?Sn的最大值.
(n?32)Sn?1 解：由等差数列求和公式得 Sn? ∴ f(n)?11n(n?1)， Sn?(n?1)(n?2) （利用常用公式） 22Snn＝2
(n?32)Sn?1n?34n?64 ＝
1n?34?64n＝
(n?18n?)2?501 50 ∴ 当
n?81，即n＝8时，f(n)max?
508题1.等比数列
2
2
的前ｎ项和Sｎ＝2－１，则
2
3
2
ｎ
＝
题2．若1+2+…+(n-1)=an+bn+cn，则a= ,b= ,c=
.
解： 原式=
二、错位相减法求和
答案：
这种方法是在推导等比数列的前n项和公式时所用的方法，这种方法主要用于求数列{an· bn}的前n项和，其中{ an }、{ bn }分别是等差数列和等比数列.
23n?1[例3] 求和：Sn?1?3x?5x?7x?????(2n?1)x………………………①
解：由题可知，{(2n?1)xn?1}的通项是等差数列{2n－1}的通项与等比数列{xn?1}的通项之积
234n设xSn?1x?3x?5x?7x?????(2n?1)x………………………. ② （设制错位） 234n?1n①－②得 (1?x)Sn?1?2x?2x?2x?2x?????2x?(2n?1)x （错位相减）
1?xn?1?(2n?1)xn 再利用等比数列的求和公式得：(1?x)Sn?1?2x?1?x 2
(2n?1)xn?1?(2n?1)xn?(1?x) ∴ Sn?
(1?x)2[例4] 求数列
2462n,2,3,???,n,???前n项的和. 22222n1解：由题可知，{n}的通项是等差数列{2n}的通项与等比数列{n}的通项之积
222462n设Sn??2?3?????n…………………………………①
222212462nSn?2?3?4?????n?1………………………………② （设制错位） 222221222222n①－②得(1?)Sn??2?3?4?????n?n?1 （错位相减）
222222212n ?2?n?1?n?1
22n?2 ∴ Sn?4?n?1
2，求数列｛an｝的前n项和Sn.
练习题1 已知 答案：
练习题2 的前n项和为____
答案：
三、反序相加法求和
这是推导等差数列的前n项和公式时所用的方法，就是将一个数列倒过来排列（反序），再把它与原数列相加，就可以得到n个(a1?an).
012nn[例5] 求证：Cn?3Cn?5Cn?????(2n?1)Cn?(n?1)2
012n证明： 设Sn?Cn?3Cn?5Cn?????(2n?1)Cn………………………….. ①
把①式右边倒转过来得
nn?110Sn?(2n?1)Cn?(2n?1)Cn?????3Cn?Cn （反序）
mn?m 又由Cn?Cn可得
01n?1n Sn?(2n?1)Cn?(2n?1)Cn?????3Cn?Cn…………..…….. ②
01n?1nn ①+②得 2Sn?(2n?2)(Cn?Cn?????Cn?Cn)?2(n?1)?2 （反序相加）
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