拔高相似三角形习题集
适合人群：老师备课，以及优秀同学拔高使用。
一、基础知识（不局限于此）
(一).比例
1.第四比例项、比例中项、比例线段； 2.比例性质：
acab??ad?bc ??b2?ac bdbcaca?bc?d（2）合比定理：?? ?bdbdacma?c???ma（3）等比定理：?????.(b?d???n?0)
bdnb?d???nb（1）基本性质：
3.黄金分割：如图，若PA?PB?AB，则点P为线段AB的黄金分割点．
4．平行线分线段成比例定理
(二)相似
1.定义:我们把具有相同形状的图形称为相似形.
2.相似多边形的特性:相似多边的对应边成比例,对应角相等. 3.相似三角形的判定
（1）平行于三角形一边的直线与其它两边相交，所构成的三角形与原三角形相似。 （2）如果两个三角形的三组对应边的比相等，那么这两个三角形相似。
（3）如果两个三角形的两组对应边的比相等，并且相应的夹角相等，那么这两个三角形相似。 （4）如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似。 4.相似三角形的性质
（1）对应边的比相等，对应角相等. （2）相似三角形的周长比等于相似比.
（3）相似三角形的面积比等于相似比的平方.
（4）相似三角形的对应边上的高、中线、角平分线的比等于相似比. 5.三角形中位线定义:连接三角形两边中点的线段 叫做三角形的中位线. 三角形中位线性质: 三角形的中位线平行于第三边，并且等于它的一半。 6.梯形的中位线定义：梯形两腰中点连线叫做梯形的中位线.
梯形的中位线性质: 梯形的中位线平行于两底并且等于两底和的一半. 7.相似三角形的应用:
１、利用三角形相似，可证明角相等；线段成比例（或等积式）； ２、利用三角形相似，求线段的长等
3、利用三角形相似，可以解决一些不能直接测量的物体的长度。如求河的宽度、求建筑物的高度等。 (三)位似:
位似:如果两个图形不仅是相似图形，而且是每组对应点所在的直线都经过同一个点，那么这样的两个图形叫做位似图形。这个点叫做位似中心.这时的相似比又称为位似比.
位似性质：位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比等于位似比
2
二、经典例题
例1.
如图在4×4的正方形方格中，△ABC和△DEF的顶点都在长为1的小正方形顶点上．
（1）填空：∠ABC=______，BC=_______． （2）判定△ABC与△DEF是否相似？
[考点透视]本例主要是考查相似的判定及从图中获取信息的能力. [参考答案] ①135°，22 ②能判断△ABC与△DEF相似，
ABBC∵∠ABC=∠DEF=?135°，=2 ?DEEF【点评】注意从图中提取有效信息，再用两对应边的比相等且它们两夹角相等来判断．
例2. 如图所示，D、E两点分别在△ABC两条边上，且DE与BC不平行，请填上一个你认为适合的条件_________，使得△ADE∽△ABC．
[考点透视]本例主要是考查相似的判定
[参考答案] ∠1=∠B或∠2=∠C，或
ADAE ?ABAC点评：结合判定方法补充条件．
例3. 如图，王华晚上由路灯A下的B处走到C处时，测得影子CD?的长为1米，继续往前走2米到达E处时，测得影子EF的长为2米，已知王华的身高是米，那么路灯A的高度等于（ ） A．米 B．6米 C．米 D．8米 [考点透视]本例主要是考查相似的应用 [参考答案] B
例4. 如图，△ABC是一块锐角三角形余料，边BC=120mm，高AD=80mm，?要把它加工成正方形零件，使正方形的一边在BC上，其余两个顶点分别在AB、AC上，?这个正方形零件的边长是多少？ [考点透视]本例主要是考查相似的实际应用 [参考答案] 48mm
【点评】解决有关三角形的内接正方形（或矩形）的计算问题，?一般运用相似三角形“对应高之比等于相似比”这一性质来解答．
例5.如图所示，在△ABC中，AB=AC=1，点D、E在直线BC上运动，设BD=x，CE=y． （1）如果∠BAC=30°，∠DAE=105°，试确定y与x之间的函数关系式；
（2）如果∠BAC的度数为α，∠DAE的度数为β，当α、β满足怎样的关系式时，（1）中y与x?之间的函数关系式还成立，试说明理由．
[考点透视]本例主要是考查相似与函数的综合运用.
[参考答案]解:在△ABC中，AB=AC=1，∠BAC=30°，∠ABC=?∠ACB=75°，∠ABD=∠ACE=105°．
又∠DAE=105°，∴∠DAB+∠CAE=75°．? 又∠DAB+?∠ADB=∠ABC=75°，
∴∠CAE=∠ADB，∴△ADB∽△EAC，
ABBD1x1?,即?，∴y=． ECACy1x?1当α1β满足β- =90°，y=仍成立．
2x∴
此时∠DAB+∠CAE=β-α，∴∠DAB+∠ADB=β-α，
∴∠CAE=∠ADB．
又∵∠ABD=∠ACE，∴△ADB∽△EAC，∴y=
1． x【点评】确定两线段间的函数关系，可利用线段成比例、找相等关系转化为函数关系．
例6. 一般的室外放映的电影胶片上每一个图片的规格为：×，放映的荧屏的规格为2m×2m，若放映机的光源距胶片20cm时，问荧屏应拉在离镜头多远的地方，放映的图象刚好布满整个荧屏？
解析：胶片上的图象和荧屏上的图象是位似的，镜头就相当于位似中心，因此本题可以转化为位似问题解答．
[考点透视]本例主要是考查位似的性质.
80[参考答案] m
7【点评】位似图形是特殊位置上的相似图形，因此位似图形具有相似图形的所有性质．
三．适时训练
（一）精心选一选
1．梯形两底分别为m、n，过梯形的对角线的交点，引平行于底边的直线被两腰所截得的线段长为（ ）（A）
m?n2mnmnm?n （B） （C） （D） mnm?nm?n2mnAD1＝，AE＝BE，则（ ） AC32．如图，在正三角形ABC中，D，E分别在AC，AB上，且
（A）△AED∽△BED（B）△AED∽△CBD（C）△AED∽△ABD（D）△BAD∽△BCD
题2 题4 题5
3．P是Rt△ABC斜边BC上异于B、C的一点，过点P作直线截△ABC，使截得的三角形与△ABC相似，满足这样条件的直线共有（ ）
（A）1条 （B）2条 （C）3条 （D）4条
4．如图，∠ABD＝∠ACD，图中相似三角形的对数是（ ）
（A）2 （B）3 （C）4 （D）5
5．如图，ABCD是正方形，E是CD的中点，P是BC边上的一点，下列条件中，不能推出△ABP与△ECP相似的是（ ）
（A）∠APB＝∠EPC （B）∠APE＝90°（C）P是BC的中点（D）BP︰BC＝2︰3 6．如图，△ABC中，AD⊥BC于D，且有下列条件： （1）∠B＋∠DAC＝90°；（2）∠B＝∠DAC；（3）
CDAC2
＝；（4）AB＝BD·BC ADAB其中一定能够判定△ABC是直角三角形的共有（ ）
（A）3个 （B）2个 （C）1个 （D）0个
题6 题7 题8
7．如图，将△ADE绕正方形ABCD顶点A顺时针旋转90°，得△ABF，连结EF交AB于H，则下列结论中错误的是（ ）
（A）AE⊥AF （B）EF︰AF＝2︰1（C）AF＝FH·FE （D）FB︰FC＝HB︰EC 8．如图，在矩形ABCD中，点E是AD上任意一点，则有（ ）
（A）△ABE的周长＋△CDE的周长＝△BCE的周长 （B）△ABE的面积＋△CDE的面积＝△BCE的面积 （C）△ABE∽△DEC（D）△ABE∽△EBC
9．如图，在□ABCD中，E为AD上一点，DE︰CE＝2︰3，连结AE、BE、BD，且AE、BD交于点F，则S△DEF︰S△EBF︰S△ABF等于（ ）
（A）4︰10︰25 （B）4︰9︰25 （C）2︰3︰5 （D）2︰5︰25
题9 题10 题11
10．如图，直线a∥b，AF︰FB＝3︰5，BC︰CD＝3︰1，则AE︰EC为（ ）．
（A）5︰12 （B）9︰5 （C）12︰5 （D）3︰2
2
11．如图，在△ABC中，M是AC边中点，E是AB上一点，且AE＝
1AB，连结EM并延长，交BC的延长线4于D，此时BC︰CD为（ ）
（A）2︰1 （B）3︰2 （C）3︰1 （D）5︰2
12．如图，矩形纸片ABCD的长AD＝9 cm，宽AB＝3 cm，将其折叠，使点D与点B重合，那么折叠后DE的长和折痕EF的长分别为（ ）
（A）4 cm、10 cm （B）5 cm、10 cm（C）4 cm、23 cm （D）5 cm、23 cm
题12
（二）细心填一填
13．已知线段a＝6 cm，b＝2 cm，则a、b、a＋b的第四比例项是_____cm，a＋b与