∴ ∠BCF∽△DBA． ∴ 又 BD＝2BC，AB＝AC， ∴ ∴ FC＝
FCBC＝． ABDBFCBC1＝＝． AC2BC2AF＝FC．
1AC． 因此 2＝1．
26．已知：如图，F是四边形ABCD对角线AC上一点，EF∥BC，FG∥AD．
求证：
AECG＋
ABCD
【提示】利用AC＝AF＋FC． 【答案】∵ EF∥BC，FG∥AD，∴
∴
AECG＋
ABCD＝
AEAFCG＝，
ABACCDAFCFAC＋＝＝1． ACCAAC＝
CFCA．
27．如图，BD、CE分别是△ABC的两边上的高，过D作DG⊥BC于G，分别交CE及BA的延长线于F、H，求证：
2
（1）DG＝BG·CG；（2）BG·CG＝GF·GH．
【提示】（1）证△BCG∽△DCG；（2）证Rt△HBG∽Rt△CFG． 【答案】（1）DG为Rt△BCD斜边上的高，
∴ Rt△BDG∽Rt△DCG．∴
CGDG＝，即DG＝BG·CG． DGBG2
（2）∵ DG⊥BC， ∴ ∠ABC＋∠H＝90°，CE⊥AB．
∴ ∠ABC＋∠ECB＝90°．∴ ∠ABC＋∠H＝∠ABC＋∠ECB．∴ ∠H＝∠ECB．
又 ∠HGB＝∠FGC＝90°，∴ Rt△HBG∽Rt△CFG．∴
BGGH＝
GFGC，
∴ BG·GC＝GF·GH．
28．如图，∠ABC＝∠CDB＝90°，AC＝a，BC＝b．
（1）当BD与a、b之间满足怎样的关系时，△ABC∽△CDB？
（2）过A作BD的垂线，与DB的延长线交于点E，若△ABC∽△CDB． 求证四边形AEDC为矩形（自己完成图形）．
b2【提示】利用三角形相似，推出BD＝
a．
【答案】（1）∵ ∠ABC＝∠CDB＝90°，∴ 当
即
ab＝．∴ bBDACBC＝时，△ABC∽△CDB． BCBDb2b2BD＝．即当BD＝时，△ABC∽△CDB．
aa∵ △ABC∽△CDB，∴ ∠ACB＝∠CBD．∴ AC∥ED．
又 ∠D＝90°，∴ ∠ACD＝90°．∴ ∠E＝90°．∴ 四边形AEDC为矩形．
29．如图，在矩形ABCD中，E为AD的中点，EF⊥EC交AB于F，连结FC
（AB＞AE）．
（1）△AEF与△EFC是否相似？若相似，证明你的结论；若不相似，请说明理由；
（2）设
AB＝k，是否存在这样的k值，使得△AEF∽△BFC，若存在，证明你的结论并求出k的值；若不存在，BC说明理由．
【提示】（1）如图，证明△AFE≌△DGE，证出∠AFE＝∠EFC．
（2）证明∠ECG＝30°，∠BCF＝30°． 【答案】如图，是相似．
【证明】延长FE，与CD的延长线交于点G．
在Rt△AEF与Rt△DEG中，
∵ E是AD的中点，∴ AE＝ED．
∵ ∴ 又 又 ∠AEF＝∠DEG，∴ △AFE≌△DGE． ∠AFE＝∠DGE．∴ E为FG的中点．
CE⊥FG，∴ FC＝GC．∴ ∠CFE＝∠G．∴ ∠AFE＝∠EFC． △AEF与△EFC均为直角三角形，∴ △AEF∽△EFC．
① 存在．如果∠BCF＝∠AEF，即k＝
3AB＝
2BC3，∴
时，△AEF∽△BCF．
证明：当
3ABDC＝时，
2BCDE＝∠ECG＝30°．
∴ ∠ECG＝∠ECF＝∠AEF＝30°．∴ ∠BCF＝90°－60°＝30°．
又 △AEF和△BCF均为直角三角形，∴ △AEF∽△BCF．
② 因为EF不平行于BC，∴ ∠BCF≠∠AFE．∴ 不存在第二种相似情况．
30．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝6 cm，CA＝8 cm，动点P从点C出
发，以每秒2 cm的速度沿CA、AB运动到点B，则从C点出发多少秒时，可使
S△BCP＝
1S4△ABC？
【提示】先求CP，再求DP．
【答案】当点P从点C出发，运动在CA上时，若S△BCP＝
1S4△ABC，则
111·CP·BC＝·AC·BC， 242∴ CP＝
1·AC＝2（cm）． 4故由点P的运动速度为每秒2 cm，它从C点出发1秒时，有S△BCP＝如图，可过点P作PD⊥BC于D．
若S△BCP＝
1S4△ABC．当点P从点C出发运动到AB上时，
1S4△ABC，则
∴
111PD·BC＝·AC·BC． 2421PD＝AC＝2（cm）．
4BPPD＝． ABAC
∵ Rt△BAC∽Rt△BPD， ∴
又 AB＝故
AC2?BC2＝10， 2?1055BP＝＝，AP＝AB－BP＝10－＝．
2281S4△ABC也就是说，点P从C出发共行 cm，用去秒，此时S△BCP＝答：1秒或秒．
31. BC=50m，AM≈133米． 32. 错误，∵
．
AOBO? ODOC33. 证△DCE∽△DBC得DC=DE·DB再证△DEF∽△DAB得DE·DB=DA·DF (2)AD·DF=DG·DC 34. BC=4m
2
35. 证（1）△EAC与△DBC全等,得到∠EAC=∠B,而∠B=∠ACB,得∠EAC=∠ACB 故AE（1）连接BC交OA于E点 ∵AB、AC是⊙O的切线，
∴AB=AC, ∠1=∠2 ∴AE⊥BC ∴∠OEB=90O ∵BD是⊙O的直径 ∴∠DCB=90O ∴∠DCB=∠OEB ∴CD∥AO… (2)∵CD∥AO ∴∠3=∠4
∵AB是⊙O的切线，DB是直径 ∴∠DCB=∠ABO=90O
BDDC
∴△BDC∽△AOB ∴ =
AOOB
6x18
∴ = ∴y = ∴0 y3x ?x?y?11 (3)由已知和(2)知：?……………8分 ?xy?18 把x、y看作方程z2-11z+18=0的两根 解这个方程 得 z=2或z=9 ?x1?2??x?9y?9 ∴ ?1 ?2 （舍去） ∴AB=92-32 =72 =6 ?y2?237. （1）∵AP=QC，AP+BQ=QC+BQ=BC=1 又∵AP、BQ分别为方程x2?mx?n?0的两根，有AP+BQ=m，AP·BQ=n ∴AP+BQ=m=1（2分） （2）∵EF∥AP∴ EFEQEQBQ?? 又∵AP∥BQ∴ APAQAEAP∴ EQBQEQBQ?? 即 AE?EQAP?BQAQAP?BQEFBQAP?BQ?即：EF? APAP?BQAP?BQ∴ （3）连结QD，则EP∥QD，得：S△AQD=∴S△AEP= AP2·S△AQD= 1，且S△AEP∶S△AQD=AP2∶AD2= AP2∶1= AP2 212 AP∴S△PQE∶S△AEP=EQ∶AE， 21111即∶AP2= EQ∶AE=BQ∶AP ∴AP·BQ=即：n= 824438. 解（1）∵OA=12,OB=6由题意，得BQ=1·t=t，OP=1·t=t∴OQ=6－t∴y= 11×OP×OQ=·t（622－t）=- 12 t＋3t（0≤t≤6） 21（2）∵y??t2?3t ∴当y有最大值时，t?3∴OQ=3 OP=3即△POQ是等腰直角三角形。把△POQ 2沿PQ翻折后，可得四边形OPCQ是正方形∴点C的坐标是（3，3）∵A(12,0),B(0,6)∴直线AB的 19x?6当x?3时，y??3，∴点C不落在直线AB上 22OQOP6?ttOQOP6?tt（3）△POQ∽△AOB时①若，即∴t?4②若，即??，??，12?2t?t， OAOB612OBOA1266?t?2t，∴t?2∴当t?4或t?2时，△POQ与△AOB相似。 解析式为y??39. 【提示】利用相似三角形的性质，列出关于ED的方程，求ED的长，即可求出S△ABC． 【答案】∵ 矩形PQMN，∴ PN∥QM，PN＝QM．∵ AD⊥BC， ∴ AE⊥PN．∵ △APN∽△ABC，∴ PNBC＝ AE． AD设ED＝x，又 矩形周长为24，则PN＝12－x，AD＝16＋x． ∴ 12?x16＝．即 1016?xx2＋4x－32＝0．解得 x＝4． ∴ AD＝AE＋ED＝20．∴ S△ABC＝ 1BC·AD＝100． 2【点评】本题要求运用相似三角形对应高线的比等于相似比． 40. 【提示】先证PB＝PC，再证△EPC∽△CPF． 【答案】连结PC． ∵ AB＝AC，AD是中线，∴ AD是△ABC的对称轴． ∴ PC＝PB，∠PCE＝∠ABP．∵ CF∥AB， ∴ ∠PFC＝∠ABP．∴ ∠PCE＝∠PFC． 又 ∠CPE＝∠EPC，∴ △EPG∽△CPF． ∴ PCPE＝．即 PFPCPC2＝PE·PF．∴ BP2＝PE·PF． 【点评】本题要求运用等腰三角形的性质以及相似三角形的判定与性质． 41.（1） 证明：连结OD，-------1分 ∵?C?90o，∴?DBC??BDC?90o． 又∵BD为∠ABC的平分线，∴?ABD??DBC． ∵OB?OD，∴?ABD??ODB ∴?ODB??BDC?90o，即∴?ODC?90o-----2分 又∵OD是⊙O的半径， ∴AC是⊙O的切线． ………………………………………………3分 （2） 解：∵ DE⊥DB，⊙O是Rt△BDE的外接圆， ∴BE是⊙O的直径， 设⊙O的半径为r， 22222在Rt△ABC中， AB?BC?CA?9?12?225， ∴AB?15 ∵?A??A，?ADO??C?90o，∴△ADO∽△ACB．