2020高考文科数学(人教版)一轮复习讲义:第45讲 合情推理与演绎推理 含答案

第45讲 合情推理与演绎推理

1.了解合情推理的含义,能进行简单的归纳推理与类比推理.

2.了解演绎推理的重要性,掌握演绎推理的“三段论”,能运用“三段论”进行简单的演绎推理. 3.了解合情推理与演绎推理之间的联系与差异.

知识梳理

1.合情推理

(1)归纳推理:由某类事物的 部分 对象具有某些特征,推出该类事物的 全部 对象都具有这些特征的推理,或者由个别事物概括出 一般结论 的推理.归纳推理是由部分到整体、由 个别 到 一般 的推理.

(2)类比推理:由两类对象具有 某些类似特征 和其中一类对象的某些已知特征,推出另一类对象也具有这些特征的推理.类比推理是由 特殊 到 特殊 的推理.

(3)合情推理:归纳推理和类比推理都是根据已有的事实,经过 观察 , 分析 , 比较 , 联想 ,再进行 归纳 , 类比 ,然后提出猜想的推理,我们把它们统称为合情推理.

2.演绎推理

(1)从 一般性 的原理出发,推出某个 特殊情况 下的结论,我们把这种推理称为演绎推理,演绎推理是由 一般 到 特殊 的推理.

(2)三段论是演绎推理的一般模式,包括: ①大前提—— 已知的一般原理 ; ②小前提—— 所研究的特殊情况 ;

③结论—— 根据一般原理,对特殊情况做出的判断 .

热身练习

1.(2015·陕西卷)观察下列等式: 111-=, 22

111111-+-=+, 23434

111111111-+-+-=++, 23456456……

11111111

据此规律,第n个等式为 1-+-+…+-=++…+ .

2342n2n-12nn+1n+2

等式左边是一个和式,先观察其通项: 11

等式的左边的通项为-,

2n-12n

11111

前n项和为1-+-+…+-;

2342n-12n

右边的每个式子的第一项为

1, n+1

111

共有n项,故为++…+.

n+1n+2n+n

11111111

所以第n个等式为1-+-+…+-=++…+. 2342n2n-12nn+1n+22.用类比的方法填写下表中的空白: 等差数列{an}中 a3=a2+d a3+a4=a2+a5 a1+a2+a3+a4+a5=5a3

类比得:b1·b2·b3·b4·b5=b53.

等比数列{bn}中 b3=b2·q b3·b4=b2·b5 b1·b2·b3·b4·b5=b53 S△PA′B′PA′·PB′VP-A′B′C′PA′·PB′·PC′

3.如图(1)有面积关系:=,则由图(2)有体积关系:= .

PA·PBPA·PB·PCS△PABVP-ABC

平面上的面积可类比到空间上的体积. 1

·S·h′

VP-A′B′C′3△PA′B′PA′·PB′·PC′

==.

1PA·PB·PCVP-ABC

·S·h3△PAB

4.(2018·襄城区校级模拟)“所有9的倍数都是3的倍数,5不是9的倍数,故5不是3的倍数.”上述推理是(B)

A.不是三段论推理,且结论不正确 B.不是三段论推理,但结论正确 C.是三段论推理,但小前提错误 D.是三段论推理,但大前提错误

5.命题“有些有理数是无限循环小数,整数是有理数,所以整数是无限循环小数”是假命题,推理错误的原因是(C)

A.使用了归纳推理 B.使用了类比推理

C.使用了“三段论”,但推理形式错误 D.使用了“三段论”,但小前提错误 由条件知使用了三段论,但推理形式是错误的.

归纳推理 (2018·陕西咸阳模拟)观察下列等式: 1×2<2, 91×2+2×3<,

2

1×2+2×3+3×4<8,

25

1×2+2×3+3×4+4×5<,

2

……

根据以上规律,第n(n∈N*)个不等式是 .

观察不等式,可得: 422?1+1?

1×2<2===,

222932?2+1?

1×2+2×3<==,

222

1642?3+1?

1×2+2×3+3×4<8===,

222

2

2552?4+1?

1×2+2×3+3×4+4×5<==,

222

2

2

2

由此可得第n个不等式是:

?n+1?2

1×2+2×3+…+n?n+1?<. 2

?n+1?2

1×2+2×3+…+n?n+1?< 2

(1)归纳推理是由个别到一般的推理,需要仔细观察特例的结构特征,从中发现一般规律.为了发现

规律,有时对特殊情况要进行适当变形.

(2)归纳推理的一般步骤是:①对相关资料进行观察、分析、归纳整理;②推出带有规律性的结论(猜想);③检验猜想.

1.(2016·山东卷)观察下列等式: π-2π-4

(sin)2+(sin)2=×1×2; 333π-2π-3π-4π-(sin)2+(sin)2+(sin)2+(sin)2 55554

=×2×3; 3

π-2π-3π-6π-4

(sin)2+(sin)2+(sin)2+…+(sin)2=×3×4; 77773π-2π-3π-8π-4

(sin)2+(sin)2+(sin)2+…+(sin)2=×4×5; 99993……

照此规律,

π-22π-23π-22nπ-24(sin)+(sin)+(sin)+…+(sin)= n(n+1) .

32n+12n+12n+12n+1

44

通过观察已给出等式的特点,可知等式右边的是个固定数,后面第一个数是等式左边最后一个数括

33

44

号内角度值分子中π的系数的一半,后面第二个数是第一个数的下一个自然数,所以所求结果为×n×(n+1),

334

即n(n+1). 3

类比推理

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