第一章 线性规划
1．1 将下述线性规划问题化成标准形式 1 min z ＝ －3x 1 ＋ 4x 2 － 2x 3 ＋ 5 x 4
st.
4x 1 － x 2 ＋ 2x 3 － x 4 ＝ －2 x 1 ＋ x 2 － x 3 ＋ 2 x4 ≤ 14 －2x 1 ＋ 3x 2 ＋ x 3 － x 4 ≥ 2 x 1 ，x 2 ，x 3 ≥ 0，x 4 无约束
2 min z ＝ 2x 1 －2x 2 ＋3x 3
－ x 1 ＋ x 2 ＋ x 3 ＝ 4 －2x 1 ＋ x 2 － x 3 ≤ 6 x 1≤0 ，x 2 ≥ 0，x 3无约束 st. 1．2
用图解法求解LP 问题，并指出问题具有唯一最优解、无穷多最优解、无界解还是无可行解。
1 min z ＝2x 1＋3x 2
4x 1＋6x 2≥6
st 2x 1＋2x 2≥4 x 1，x 2≥0
2 max z ＝3x 1＋2x 2 2x 1＋x 2≤2 st 3x 1＋4x 2≥12 x 1，x 2≥0
3 max z ＝3x 1＋5x 2 6x 1＋10x 2≤120 st 5≤x 1≤10
3≤x 2≤8
4 max z ＝5x 1＋6x 2 2x 1－x 2≥2
1．3 找出下述LP 问题所有基解，指出哪些是基可行解，并确定最优解 （1）min z ＝5x 1－2x 2＋3x 3＋2x 4
1
st －2x 1＋3x 2≤2 x 1，x 2≥0
x 1＋2x 2＋3x 3＋4x 4＝7 st 2x 1＋2x 2＋x 3 ＋2x 4＝3 x 1，x 2，x 3，x 4≥0
1．4 分别用图解法与单纯形法求解下列LP 问题，并对照指出最优解所对应的顶点。 1 maxz ＝10x 1＋5x 2
3x 1＋4x 2≤9 st 5x 1＋2x 2≤8 x 1，x 2≥0 2 maxz ＝2x 1＋x 2
3x 1＋5x 2≤15 st 6x 1＋2x 2≤24 x 1，x 2≥0
1．5 分别用大M 法与两阶段法求解下列LP 问题。 1 minz ＝2x 1＋3x 2＋x 3 x 1＋4x 2＋2x 3≥8
st 3x 1＋2x 2 ≥6 x 1，x 2 ，x 3≥0 2 max z ＝4x 1＋5x 2＋ x 3 . 3x 1＋2x 2＋ x 3≥18 St. 2x 1＋ x 2 ≤4 x 1＋ x 2－ x 3＝5
3 maxz ＝ 5x 1＋3x 2 +6x3 x 1＋2x 2 －x 3 ≤ 18 st 2x 1＋x 2 －3 x3 ≤ 16 x 1＋x 2 －x 3＝10 x 1，x 2 ，x 3≥0
4 max z =10x 1+15x 2+12x 3≤9?5x 1+3x 2+x 3 ?-5x +6x +15x ≤15?123st . ? x 3≥5?2x 1+x 2+ ?x , x , x ≥0?123 1．6 2
1.7某班有男生30人，女生20人，周日去植树。根据经验，一天男生平均每人挖坑20个，或栽树30棵，或给25棵树浇水；女生平均每人挖坑10个，或栽树20棵，或给15棵树浇水。问应怎样安排，才能使植树（包括挖坑、栽树、浇水）最多？请建立此问题的线性规划模型，不必求解。
1.8某糖果厂用原料A 、B 、C 加工成三种不同牌号的糖果甲、乙、丙。已知各种牌号糖果中A 、B 、C 含量，原料成本，各种原料的每月限制用量，三种牌号糖果的单位加工费及售价如下表所示。
问该厂每月应生产这三种牌号糖果各多少千克，使该厂获利最大？试建立此问题的线性规划的数学模型。
甲 乙 丙 原料成本(元/千克 每月限量（千克）
A ≥60≥15 2.00 2000 B 1.50 2500 C ≤20≤60≤50 1.00 1200 加工费（元/千克 0.50 0.40 0.30 售 价 3.40 2.85 2.25
1.9某商店制定7－12月进货售货计划，已知商店仓库容量不得超过500件，6月底已存货200件，以后每月初进货一次，假设各月份此商品买进售出单价如下表所示，问各月进货售货各多少，才能使总收入最多？请建立此问题的线性规划模型。 月 份 7 8 9 10 11 12 买进单价 28 24 25 27 23 23
1.10某厂接到生产A 、B 两种产品的合同，产品A 需200件，产品B 需300件。这两种产品的生产都经过毛坯制造与机械加工两个工艺阶段。在毛坯制造阶段，产品A 每件需要2小时，产品B 每件需要4小时。机械加工阶段又分粗加工和精加工两道工序，每件产品A 需粗加工4小时，精加工10小时；每件产品B 需粗加工7小时，精加工12小时。若毛坯生产阶段能力为1700小时，粗加工设备拥有能力为1000小时，精加工设备拥有能力为3000小时。又加工费用在毛坯、粗加工、精加工时分别为每小时3元、3元、2元。此外在粗加工阶段允许设备可进行500小时的加班生产，但加班生产时间内每小时增加额外成本4.,5元。试根据以上资料，为该厂制订一个成本最低的生产计划。
1.11某公司有三项工作需分别招收技工和力工来完成。第一项工作可由一个技工单独完成，或由一个技工和两个力工组成的小组来完成。第二项工作可由一个技工或一个力工单独去完成。第三项工作可由五个力工组成的小组完成，或由一个技工领着三个力工来完成。已知技工和力工每周工资分别为100元和80元，他们每
周都工作48小时，但他们每人实际的有效工作小时数分别为42和36。为完成这三项工作任务，该公司需要每周总有效工作小时数为：第一项工作10000小时。第二项工作20000小时，第三项工作30000小时。又能招收到的工人数为技工不超过400人，力工不超过800人。试建立数学模型，确定招收技工和力工各多少人。使总的工资支出为最少(
3
第二章 对偶与灵敏度分析
2．1 写出以下线性规划问题的DLP 1 minz ＝2x 1＋2x 2＋4x 3 st
x 1＋3x 2＋4x 3 ≥2 2x 1＋ x 2＋3x 3 ≤3 x 1＋4x 2＋3x 3 ＝5 x 1，x 2≥0，x 3无约束 x 1＋2x 2＋2x 3 ＝5 －x 1＋5x 2－ x 3 ≥3 4x 1＋7x 2＋3x 3 ≤8 x 1无约束，x 2≥0，x 3≤0
2 max z ＝5x 1＋6x 2＋3x 3 st
3 max z ＝c 1x 1＋c 2x 2＋c 3x 3 st
a 11x 1＋a 12x 2＋a 13x 3 ≤b 1
a 21x 1＋a 22x 2＋a 23x 3 ＝b 2 a 31x 1＋a 32x 2＋a 33x 3 ≥b 3 x 1≥0，x 2≤0，x 3无约束
2．2 st
对于给出的LP ：