11ex?1?x(e?1)~xex?1?xex?11)?lim?lim?lim?； （11）lim(?xx?0xx?0x?02xe?1x?0x(ex?1)x22x（12）lim(x?1x1xlnx?x?1?)?lim?limx?1x?1x?1lnx(x?1)lnxlnx1?lnx1?lim?； x?1x?1lnx?22lnx?xxlnx?x?1u?x?1(u?1)ln(u?1)?uln(u?1)~u(u?1)ln(u?1)?u?lim?lim（或解为：lim 2x?1(x?1)lnxu?0u?0uln(u?1)u?limax)?ex?ex?0?ln(u?1)1?）
u?02u2alimxln(1?)x??x（13）lim(1?x???elimaln(1?)xlim1x??x?ealimxx??1x1?ea；
limtanxsinx?x（14）
x?0limx?sinxlimsinxlnxlnx?ex?0?cscx?ex?0??xcotxcscxlim?ex?0??e0?1；
（15）
1tanxlim()?limex?0?xx?0?x?lnxlimx?0?cotx?lime?x?01xlim2x?0??cscx??lime?x?0sin2xxx?0?lim?e0?1；
1e?ln(1?x)?1(1?x2)(xex?ex?1)x?1?lim?lim（16）lim 2x?0x?0x?01x?arctanx(x?1)x1?1?x2ex?(xex?ex?1)xex1??lim??lim??； 2x?0x?0x2x2（17）lim(1?sinx)x?01x?limex?0ln(1?sinx)x?0xlim?limex?0cosxx?01?sinxlim?e；
1x（18）lim(ln)?ex?0?xln[?lnx]lim1x?0?x?e11?(?)lim?lnxx1x?0??2x?e?limxx?0?lnx?e?lim1x?0?1/x?1；
11?x21?x1?x22（19）
x???lim(x?1?x2)?e1xln(x?1?x2)x???xlim?ex???limx?1?x?ex???lim?1；
lntant?lntt2（20）令
lim1x2tantt21x2t?0?)?ef(x)?(xtan)，则lim(xtan)?lim(x???t?0?xtx1t?sin2tlim232tt?0?t?1x1
?et?0?limtsec2t?tant2t2tant?et?0?limtsec2t?tant2t3?et?0?limt?sintcost2t3cos2t?e
?et?0?lim1?cos2t(1?cosx)~6t2??x22e2t?0?6tlim2t2?e
1311n2∴lim?(ntan)?e3 n???n★★2.验证极限limx?sinx存在，但不能用洛必达法则求出。
x??x知识点：洛必达法则。
思路：求导后极限如果不存在，不能说明原式极限不存在，只能说洛必达法则失效。洛必达法则不能解决
所有的未定型极限问题。
x?sinxsinxx?sinx存在； ?lim(1?)?1?0?1，∴极限limx??x??x??xxxx?sinx1?cosx若使用洛必达法则，得lim?lim?1?limcosx，
x??x??x??x1解：∵ lim而limx??cosx不存在，所以不能用洛必达法则求出。
f(x)有二阶导数，证明f??(x)?limh?0★★★3.若
f(x?h)?2f(x)?f(x?h)。 2h知识点：导数定义和洛必达法则。
思路：使用洛必达法则，对极限中的函数上下求关于h的导数，然后利用导数定义得结论。
f(x?h)?2f(x)?f(x?h)f?(x?h)?f?(x?h)证明：∵ lim ?limh?0h?0h22hf?(x?h)?f?(x)?f?(x)?f?(x?h)?limh?02h1f?(x?h)?f?(x)1f?(x?h)?f?(x)?lim?lim?f//(x)，∴结论成立。 2h?0h2h?0?h?(1?x)1x1x?0?[]x,★★★4.讨论函数f(x)??在点x?0处的连续性。 e??12x?0?e,知识点：函数在一点连续的概念。
思路：讨论分段函数在分段点处的连续性，要利用函数在一点处左、右连续的概念。
(1?x)x1xf(x)?lim[]?e解：∵limx?0?x?0?e?e1?1lim2x?0?1?x111(1?x)xlimln?ex?0x?ex?0?limln(1?x)?xx2?e1?1lim1?xx?0?2x
?e?12?f(0)，∴f(x)在x?0处右连续；
?12又∵
x?0?limf(x)?e?f(0)，∴f(x)在x?0处左连续；
从而可知，
?(1?x)1x1x?0?[]x,f(x)??在点x?0处连续。 e??12x?0?e,★★★5.设
g(x)在x?0处二阶可导，且g(0)?0。试确定a的值使f(x)在x?0处可导，并求
f?(0)，其中
?g(x) ,x?0?f(x)??x 。
?x?0?a ,知识点：连续和可导的关系、洛必达法则。
思路：讨论分段函数在分段点处的连续性、可导性，一般考虑利用定义。 解：要使f(x)在x?0处可导，则必有f(x)在x?0处连续，
又∵g(x)在x?0处g(0)?0，∴a?limf(x)?limx?0x?0g(x)g(x)?g(0)?lim?g/(0)； x?0xx?0g(x)?g?(0)f(x)?f(0)g(x)?g?(0)x由导数定义，f?(0)?lim ?limx?limx?0x?0x?0x?0x?0x2g?(x)?g?(0)1?lim?g??(0)。 x?02x2
内容概要 名称 3.3 泰勒公式 主要内容（3.3） 泰勒中值定理：如果f(x)在含有x0的某个开区间(a,b)内具有n?1阶的导数，则对任一/x?(a,b)，有f//(x0)f(x)?f(x0)?f(x0)(x?x0)?(x?x0)2?? 2!f(n)(x0)?(x?x0)n?Rn(x)，此公式称为n阶泰勒公式； n!f(n?1)(?)(x?x0)n?1（?其中Rn(x)?(n?1)!介于x0于x之间），称为拉格朗日型余项；或Rn(x)?o[(x?x0)n]，称为皮亚诺型余项。 n阶麦克劳林公式： f//(0)2f(n)(0)nf(x)?f(0)?f(0)x?x???x?Rn(x) 2!n!/f(n?1)(?x)n?1x（0???1）或Rn(x)?o(xn)。 其中Rn(x)?(n?1)!x2xn????o(xn) 常用的初等函数的麦克劳林公式：1）e?1?x?2!n!xx3x5x2n?1n????(?1)?o(x2n?2) 2）sinx?x?3!5!(2n?1)!2nx2x4x6nx?????(?1)?o(x2n?1) 3）cosx?1?2!4!6!(2n)!n?1x2x3nx????(?1)?o(xn?1) 4）ln(1?x)?x?23n?15）1?1?x?x2???xn?o(xn) 1?x6）(1?
x)m?1?mx?m(m?1)2m(m?1)?(m?n?1)nx???x?o(xn) 2!n!习题3-3
★1.按(x?1)的幂展开多项式f(x)?x4?3x2?4。
知识点：泰勒公式。
思路：直接展开法。求f(x)按(x?x0)的幂展开的n阶泰勒公式，则依次求f(x)直到n?1阶的导
数在x?x0处的值，然后带代入公式即可。
32解：f?(x)?4x?6x，f?(1)?10；f??(x)?12x?6，f??(1)?18；
f???(x)?24x，f???(1)?24；f(4)(x)?24；f(4)(1)?24；f(5)(x)?0；
将以上结果代入泰勒公式，得
f?(1)f??(1)f???(1)f(4)(1)23f(x)?f(1)?(x?1)?(x?1)?(x?1)?(x?1)41!2!3!4!?8?10(x?1)?9(x?1)2?4(x?1)3?(x?1)4。
★★2.求函数
f(x)?x按(x?4)的幂展开的带有拉格朗日型余项的三阶泰勒公式。
知识点：泰勒公式。
思路：同1。 解：f?(x)?12x，
1?311f?(4)?；f??(x)??x2，f??(4)??；
4432715?3?53(4)(x)??x2；将以上结果代入泰勒公式，得 f???(x)?x2，f???(4)?；f168256f?(4)f??(4)f???(4)f(4)(ξ)23f(x)?f(4)?(x?4)?(x?4)?(x?4)?(x?4)4
1!2!3!4!111?2?(x?4)?(x?4)2?(x?4)3?4645125128ξ72(x?4)4，（ξ介于x与4之间）。
★★★3.把
1?x?x2f(x)?1?x?x2在x?0点展开到含x4项，并求f(3)(0)。
知识点：麦克劳林公式。
思路：间接展开法。f(x)为有理分式时通常利用已知的结论
1 ?1?x?x2???xn?o(xn)。
1?x