习题3-4
★1.证明函数
y?x?ln(1?x2)单调增加。
知识点：导数的应用。
思路：利用一阶导数符号判断函数的单调性是常用的方法。在某个区间I上，f?(x)?0（f?(x)?0），
则
f(x)在I单调增加（减少）。
2x(1?x)2??0（仅在x?1处y??0）证明：∵y??1?， 221?x1?x∴
y?x?ln(1?x2)在(??,??)内是单调增加的。
★2.判定函数
f(x)?x?sinx(0?x?2π)的单调性。
解：∵f?(x)?1?cosx?0（仅在x?π处f?(x)?0），
∴
f(x)?x?sinx(0?x?2π)是单调增加的。
★★3.求下列函数的单调区间：
（1）
y?1382x?x2?3x?1； （2）y?2x?(x?0)； （3）y?x?3x23x3；
（4）
y?ln(x?1?x2)； （5）y?(1?x)x； （6）y?2x2?lnx。
知识点：导数的应用。
思路：利用一阶导数符号判断函数的单调性。求函数的单调区间，用导数为零的点及不可导点，将定义域
划分成若干个区间，然后在每个区间上判断函数的单调性；如果划分定义域的点有两个或以上，可列表讨论，使得思路更清晰一些。
解：（1） y?得x113x?x2?3x?1的定义域为(??,??)；令y??x2?2x?3?0， 3??1，x2?3。列表讨论如下：
x (??,?1) ? ↗ ?1 0 (?1,3) － ↘ 3 0 (3,??) ? ↗ f?(x) f(x) 由上表可知，y13x?x2?3x?1在(??,?1)、(3,??)内严格单增，而在(?1,3)内严格单减。 38（2） 在(0,??)内，令y??2?2?0，得x?2；
x?当 x?(0,2)时，有
y??0；当 x?(2,??)时，有y??0；
∴
y?2x?8(x?0)在(0,2)内严格单增，在(2,??)内严格单减。 x223（3）y?x?x3得x
22?12(3x?1)3的定义域为(??,??)；令y???x??0，
3333x?1；x?0为不可导点。列表讨论如下：
x (??,0) ? ↗ 0 0 (0,1) － ↘ 1 0 (1,??) ? ↗ f?(x) f(x) 由上表可知，
y?2x?3x23在(??,0)、(1,??)内严格单增，而在(0,1)内严格单减。
（4）
y?ln(x?1?x2)的定义域为(??,??)，
1x?1?x2y??(1?x1?x2)?11?x2?0，
∴
y?ln(x?1?x2)在(??,??)内严格单增。
y?(1?x)x的定义域为[0,??)，∵y??(x?x)??1?32（5）
3x?0， 2∴
y?(1?x)x在[0,??)上严格单增。
214x2?11?0，得x?； （6）y?2x?lnx的定义域为(0,??)，令y??4x??xx211)时，y??0；当x?(,??)时，y??0； 22112∴y?2x?lnx在(0,)内严格单增，在(,??)内严格单减。
22当x?(0,★★4.证明下列不等式：
1x?1?x； （2）当x?4时，2x?x2； 2π13（3）当x?0时，(1?x)ln(1?x)?arctanx； （4）0?x?时，tanx?x?x。
23（1） 当x?0时，1?知识点：导数的应用或者泰勒公式的应用。
思路：利用泰勒公式可以证明一些不等式（见习题3-3第10题），利用函数单调性也是证明不等式常用的
方法。
解：（1）方法一：令f(x)?1?1x?1?x， 2则当x?0时，f?(x)?1111??(1?)?0， 221?x21?x∴
f(x)?1?1x?1?x在[0,??)上严格单增；从而f(x)?f(0)?0， 2即1?1x?1?x，结论成立。 2方法二：由泰勒公式，得
111f(x)?1?x?1?x?1?x?(1?x?222∴
x28(1?ξ)32)?x28(1?ξ)32（0?ξ， ?x）
f(x)?x28(1?ξ)32?0，从而得1?1x?1?x，结论成立。 2（2）方法一：令
f(x)?2x?x2，则当x?4时，f?(x)?2xln2?2x，
f??(x)?2xln22?2?f??(4)?16ln22?2?(ln42)2?2?(lne2)2?2?0，
∴
f?(x)?2xln2?2x在(4,??)内严格单增，
f?(x)?2xln2?2x?f?(4)?16ln2?4?4(ln16?1)?0，
从而∴
f(x)?2x?x2在(4,??)内严格单增，在(4,??)内f(x)?2x?x2?f(4)?8?0，
x∴2?x2，结论成立。
注：利用f??(x)的符号判断f?(x)的单调性，利用f?(x)的单调性判断其在某区间上的符号，从而得出
f(x)在某区间上的单调性，也是常用的一种方法。
方法二：令f(x)?xln2?2lnx，
当x∴
?4时，f/(x)?ln2?2111?ln2??ln4??0， x222f(x)?xln2?2lnx在(4,??)内严格单增，
f(x)?xln2?2lnx?f(4)?4ln2?2ln4?0，从而有，xln2?2lnx，
xln2 ∴∴e?e2lnx，即2x?x2，结论成立。 f(x)?(1?x)ln(1?x)?arctanx，
（3）令则当x?0时有f?(x)?ln(1?x)?1?1， ?0（仅在x?0时，f?(x)?0）21?x∴
f(x)在[0,??)上严格单增，从而有f(x)?f(0)?0，
x)ln(1?x)?arctanx，结论成立。
?tanx?x，则当0?x?即(1?π22时，有g?(x)?secx?1?tanx?0 2ππ从而g(x)?tanx?x在(0,)内严格单增，∴g(x)?g(0)?0，即在(0,)内tanx?x；
2213再令f(x)?tanx?x?x，
3π2222则当0?x?时，f?(x)?secx?1?x?tanx?x?0，
213π从而f(x)?tanx?x?x在(0,)内严格单增，∴f(x)?f(0)?0，
23π13即在(0,)内tanx?x?x，结论成立。
23★★★5.试证方程sinx?x只有一个实根。
（4）令g(x)知识点：导数的应用。
思路：利用导数的符号判断函数的单调性，进而讨论方程的根是常用的方法。 解：易知，sin0?0，即x?0是方程的一个根；
令∴
， f(x)?x?sinx，则f?(x)?1?cosx?0（仅在x?2kπ(k?Z)处f?(x)?0）
f(x)?x?sinx在(??,??)内严格单增，从而f(x)只有一个零点，
即方程sinx?x只有一个实根。
f(x)?x?sinx。
★★6.单调函数的导函数是否必为单调函数？研究例子：
知识点：导数的应用。
思路：利用一阶导数符号判断单调性，从而证明结论。 解：单调函数的导函数不一定为单调函数。
∵∴而
f?(x)?1?cosx?0（仅在x?(2k?1)π(k?Z)处f?(x)?0）， f(x)?x?sinx在(??,??)内严格单增；
f?(x)?1?cosx在(2kπ,(2k?1)π)内严格单减，在((2k?1)π,2kπ)内严格单增，从而在
(??,??)上不单调。
★★7.求下列函数图形的拐点及凹凸区间：
（1）
y?x?1x(x?0)； （2）y?x?2 ； （3） y?xarctanx； xx?1（4）
y?(x?1)4?ex； （5） y?ln(x2?1)； （6）y?earctanx 。
知识点：导数的应用。
思路：利用二阶导数的符号判断函数的凹凸性；求拐点和凹凸区间，用二阶导数为零的点及不可导点，将
定义域划分成若干个区间，然后在每个区间上判断函数的凹凸性；如果划分定义域的点有两个或以上，可列表讨论，使得思路更清晰一些。
解：（1）y??1?∴
12??，，∵当x?0时，y???0， y?22xx1在[0,??)上为凹函数，没有拐点。 xx（2）y?x?2的定义域为(??,?1)?(?1,1)?(1,??)；
x?1y?x?1?x22x(x2?3)y??1?2，y???，令y???0，得x?0； 223(x?1)(x?1)当x??1或0?∴
x?1时，y???0；当?1?x?0或x?1时，y???0；
y?x?x的凹区间为(?1,0)、(1,??)，凸区间为(??,?1)、(0,1)；∴拐点为(0,0)。
x2?12x??y??0， ，
(1?x2)21?x2（3） ∴
y?xarctanx的定义域为(??,??)，y??arctanx?y?xarctanx在整个定义域上为凹函数，没有拐点。
y?(x?1)4?ex的定义域为(??,??)，y??4(x?1)3?ex，
（4）
y???12(x?1)2?ex?0，∴y?(x?1)4?ex在整个定义域上为凹函数，没有拐点。
2(1?x2)2x（5） y?ln(x?1)的定义域为(??,??)，y??，y???， 222(1?x)1?x2令y???0，得x1,2??1；列表讨论如下：
x (??,?1) － ?1 0 (?1,1) ? 1 0 (1,??) － f??(x) f(x) 由上表可知，y及(1,ln2)。
? ? ? ?ln(x2?1)的凸区间为(??,?1)、(1,??)，凹区间为(?1,1)，拐点为(?1,ln2)（6）
y?earctanxearcanx(1?2x)earctanx的定义域为(??,??)，y??，y???， 2(1?x2)21?x令y???0，得x?111
；当x?时，y???0；当x?时，y???0； 222