罗尔定理拉格朗日柯西中值定理洛必达法则与导数的应用

y?earctanx1arctan211)。 的凹区间为(??,],凸区间为[,??),拐点为(,e2221★★★8.利用函数图形的凹凸性,证明不等式:

ex?ey?e(1)

2x?y2(x?y); (2)cosx?ycosx?cosyππ?,?x,y?(?,)。 2222知识点:函数凹凸性的概念。

思路:利用函数凹凸性的概念可证明一些不等式,特别是不等式中含不同变量的线性组合及其函数值的线

性组合时可考虑利用函数的凹凸性。

xx证明:(1)令y?e,∵y???e?0,∴y?e在(??,??)内是凹的。

xex?ey?e利用凹函数的定义,?x,y?(??,??)(x?y),有

2(2)令

x?y2,结论成立。

ππππy?cosx,∵在(?,)内,y????cosx?0,∴y?cosx在(?,)内是凸的。利

2222ππx?ycosx?cosy用凸函数的定义,?x,y?(?,)(x?y),有cos,结论成立。 ?2222x?1★★★9.求曲线y?的拐点。

x2?1知识点:导数的应用。 思路:同7。

1?2x?x2x?1解:y?2的定义域为(??,??),y??, 22(1?x)x?1(2?2x)(1?x2)2?(1?2x?x2)?4x(1?x2)2(x?1)(x2?4x?1)y????

(1?x2)4(1?x2)3令y???0,得x1??1,x2,3?2?3;现列表讨论如下:

x (??,?1)?1(?1,2?3)2?3 - (2?3,2?3) 2?3 - (2?3,??) f??(x) 0 ? 0 0 ? f(x) ? ? ? ? 由上表可知,拐点为(?1,?1)、(2?3,1?38?43)、(2?3,1?38?43)。

★★10.问a及b为何值时,点(1,3)为曲线

y?ax3?bx2的拐点?

知识点:导数的应用。

思路:拐点通常是二阶导数的零点或者是不可导点。又高阶可导的函数的拐点一定是二阶导数的零点。 解:y?ax?bx的定义域为(??,??),y??3ax?2bx,y???6ax?2b;

将(1,3)代入将(1,3)代入由①②得,a322y?ax3?bx2中,得:3?a?b①;

y???6ax?2b中,得:0?6a?2b②;

??39,b?。 22y?ax3?bx2?cx?d中的a、b、c、d,使得在x??2处曲线有水平切线,

★★★11.试确定曲线

(1,?10)为拐点,且点(?2,44)在曲线上。

知识点:导数的几何意义及导数的应用。

思路:利用可导函数的拐点一定是二阶导数的零点,在某点处的导数值等于该点处切线的斜率,以及已知

条件,建立方程组,确定函数中的待定参数。

2解:y??3ax?2bx?c,y???6ax?2b; 将(?2,44)代入y?ax?bx?cx?d,得

3244??8a?4b?2c?d ①

将(1,?10)分别代入

y?ax3?bx2?cx?d与y???6ax?2b中,得

?10?a?b?c?d ②; 0?6a?2b ③

将x??2代入y??3ax2?2bx?c中,得 0?12a?4b?c④

?1,b??3,c??24,d?16。

由①②③④得,a★★★12.试确定

y?k(x2?3)2中k的值,使曲线的拐点处的法线通过原点。

知识点:导数的应用。

思路:可导的拐点必为二阶导数为零的点;依此求出拐点坐标,写出法线方程,根据已知条件,求出k值。 解:y?k(x?3)的定义域为(??,??);y??4kx(x?3),y???12k(x?1);

2222y???0,得x1,2??1。易知,当x的取值通过x1,2??1的两侧时,y???12k(x2?1)会变号,

y?k(x2?3)2的拐点;∵y?x?1∴(1,4k)与(?1,4k)均为

??8k,y?x??1?8k,

∴两拐点处法线方程分别为:

y?4k?11(x?1),y?4k??(x?1); 8k8k2又两法线过原点,将(0,0)代入法线方程,得32k?1,解得k??28。

★★★★13.设函数

y?f(x)在x?x0的某邻域内具有三阶导数,如果f??(x0)?0,

f???(x0)?0,试问(x0,f(x0))是否为拐点,为什么?

知识点:导数的应用。

思路:根据极限的保号性和拐点的定义得结论。

方法一:f??(x0)?0,f???(x0)?0不妨设f???(x0)?0,即

f???(x0)?limx?x0f??(x)?f??(x0)f??(x)?lim?0; x?0x?x0x?x0由极限的保号性知,必存在δ?0,使得?x??(x0,δ),均有

f??(x)?0; x?x0从而当x0∴(x0,f?δ?x?x0时,有f??(x)?0,当x0?x?x0?δ时,有f??(x)?0;

(x0))为拐点。

内容概要 名称 3.5 函数的极值与最大值最小值 主要内容(3.5) 极值的概念:设函数恒有若对该邻域内任意一点x(x?x0),f(x)在点x0的某个邻域内有定义,f(x)?f(x0)(或f(x)?f(x0)),则称f(x)在点x0处取得极大值(或极小值),。 f(x)的极大值点(或极小值点)第一充分条件:设函数以不存在), (1)若在x0的左邻域内,则而x0成为函数函数极值的 判别法 f(x)在点x0的某个邻域内连续且可导(f?(x0)可f?(x)?0;在在x0的右邻域内,f?(x)?0,f(x)在x0处取得极大值f(x0); f?(x)?0;在在x0的右邻域内,f?(x)?0,(2)若在x0的左邻域内,则f(x)在x0处取得极小值f(x0); f?(x)不变号,则f(x)在x0处没有极值。 (3)若在x0的左邻域内,注:第一充分条件利用一阶导数符号判断函数单调性。 第二充分条件:设f(x)在x0处具有二阶导数,且f?(x0)?0,f??(x0)?0,则 (1)当(2)当f??(x0)?0时,函数f(x)在x0处取得极大值; f??(x0)?0时,函数f(x)在x0处取得极小值。 注:利用驻点处二阶导数符号判断驻点是否为极值点。 函数的最大值和最小值:注意函数极值和最值的区别和联系

习题3-5

★★1.求下列函数的极值:

(1)

ln2x132f(x)?x?x?3x; (2)y?x?ln(1?x); (3) y?x3;

(4)

y?x?1?x; (5) y?excosx; (6)f(x)?(x?1)?3x2。

知识点:极值的充分条件。

思路:求y??0的点或者y?不存在的点,然后利用极值的第一或者第二充分条件进行判断。当所有的极

值可疑点多于两个时,若利用第一充分条件,可列表讨论;第二充分条件仅用来对驻点是否为极值点进行判断。

解:(1)方法一: f(x)?令

13x?x2?3x的定义域为(??,??), 3f?(x)?x2?2x?3?0,得x1?3,x2??1;现列表讨论如下:

x (??,?1) ? ↗ ?1 0 极大值点 (?1,3) - ↘ 3 (3,??) ? ↗ f?(x) f(x) 由上表知,

0 极小值点 f(x)?135x?x2?3x在x??1处取得极大值为f(?1)?,在x?3处取得极小值为

33f(3)??9。

2方法二:令f?(x)?x?2x?3?0,得x1?3,x2??1;

f??(x)?2x?2得,f??(?1)??4?0, f??(3)?4?0,

∴由极值的第二充分条件知,在xf(x)?135x?x2?3x在x??1处取得极大值为f(?1)?,

33?3处取得极小值为f(3)??9。

?x?ln(1?x)的定义域为(?1,??),令y??1?(2)方法一:y当?1?1x??0,得x?0; 1?x1?xx?0时,有y??0;当x?0时,有y??0,

y?x?ln(1?x)在x?0处取得极小值为f(0)?0。

∴由极值的第一充分条件知,

方法二:y?x?ln(1?x)的定义域为(?1,??),令y??1?1x??0,得x?0; 1?x1?x又由

y???1(1?x)2,得

y??(0)?1?0,

y?x?ln(1?x)在x?0处取得极小值为f(0)?0。

2∴由极值的第二充分条件知,

ln2x(3) 方法一:y?x现列表讨论如下:

2lnx?ln的定义域为(0,??),令y??x2x?0,得x1?1,x2?e2;

x (0,1) - 1 0 极小值点 (1,e2) ? ↗ e2 (e2,??) - f/(x) 0 极大值点 f(x) ln2x由上表知,y?xln2x方法二:y?x在x↘ ↘ ?1处取得极小值为y(1)?0,在x?e2处取得极大值为f(e2)?4e2。

2lnx?ln2x?0,得x1?1,x2?e2; 的定义域为(0,??),令y??2x2?6lnx?2ln2x22????y(1)?2?0由y???,得,y(e)???0; 36xeln2x∴由极值的第二充分条件知,y?x在x?1处取得极小值为y(1)?0,在x?e2处取得极大值为

f(e2)?(4)

4e2。

y?x?1?x的定义域为(??,1],令y??321?x?1?0,得x?;

421?x33时,有y??0;当?x?1时,有y??0, 44335∴由极值的第一充分条件知,y?x?1?x在x?处取得极大值为f()?。

444当x?注:此题中y??的表达式比较繁琐,所以优先考虑第一充分条件。

(5) 令

y?excosx的定义域为(??,??),

y??ex(cosx?sinx)?0,得x?kπ?πx,(k?Z);由 y????2esinx,得 4

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