21.2.4 一元二次方程的根与系数的关系
沂南三中 张继学 联系电话: 13188718803
一、【教材分析】
教 学 目 标 1.理解根系关系的推导过程. 知识 2.掌握一元二次方程的根和系数的关系. 目标 能力 1.能不解方程求出一元二次方程的两根和与两根积 . 目标 2.能灵活运用一元二次方程的根和系数的关系解决一些简单的问题. 情感 体会从特殊到一般，再有一般到特殊的推导思路 目标 教学 重点 教学 难点 根与系数的关系的推导、运用． 正确归纳、理解、运用根与系数的关系． 二、【教学流程】
教学环节 教学问题设计 师生活动 二次备课 情 景 创 设 前2天悄悄地听到咱班的郑帅和董沐青的 一段对话，内容如下： 郑：我说董沐青，我有一个秘密，你想听吗？ 董：什么秘密？ 郑：你知道咱们可爱的张老师年龄到底有多大 吗？ 老师创设一段情景对董：哦？ 郑：呵呵，这绝对是个秘密，我不能直接告诉话，调动学生学习兴趣. 2 你，我这么说吧：她的年龄啊是方程x– 12x +35 =0的两根的积，回去你把两根求出来就知 道了. 董：咳，你难不住我，我不用求根就已经知道引导学生完成下面探答案了，而且我还告诉你，张老师的年龄啊还2 究. 是方程x-35x -200=0的两根的和呢. 师：同学们，你们想知道董沐青不解方程，是 怎么求出张老师年龄的吗？ 【探究1】 解下列方程，并填写表格： - 1 -
自 主 探 究 方 程 x2?2x?0 x1 x2 x1+x2 x1?x2 通过学生计算一些特殊的一元二次方程的两根之和与两根之积，启发学生从中发现存在的一般规律，渗透特殊到一x2?3x?4?0 x2?5x?6?0 般的思考方法。 学生通过计算、猜想、交流、总结出根与系数的关系： 观察上面的表格，你能得到什么结论？ 若x1、x2为方程关于x的方程x2?px?q?0(p、q为常数，p2?4q?0)的两个根，结合上表，说明x1+x2与x1·x2与p，q有何关系？请你写出关系式 【探究2】 关于x的方程ax?bx?c?0(a?0)的两根x1+x2与x1·x2与系数a，b，c之间又有何关系呢？你能证明你的猜想吗？ 引导学生利用求根公式给出证明。 2x1?x2??p， x1x2?q. 可以先将方程转化为二次项系数为1的一元二次方程，再利用上面的结论来研究，即： ax2?bx?c?0(a?0) ∵a?0 bc证明：?当△＞0时，由求根根式得：2 ∴x?x??0 aa2?b?b2?4ac ，?b?b?4ac x2? x1?b2a2ax1?x2??∴，a ∴cx1x2?. a22?b?b?4ac?b?b?4acb?? 2aa 从理论上加以验证，让 学生经历从特殊到一般x1?x2?(?b)2?(b2?4ac)4accx1?x2??2? 2a4a4a
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的科学探究过程。
1.利用所学知识解决情景问题？ 2.不解方程，求下列方程的两根和与两根积. （1） x2 – 3x +1 =0 （2） 3x2 – 2x - 2=0 （3） 2x2 –3x =0 （4） 3x2 =1 3.已知方程2x?kx?9?0的一个根是－3，求另一根及k的值？ 2直接应用新知是学 生的模仿阶段，也是本课教学最基本的知识目标. 学生先独立求解，再让小组交流，然后学生代表展示.比较不同解法，引导学生谈谈有什么启示？ 尝 试 应 用 2若一元二次方程x-4 x+2=0的两根是x1、 x2，求下列各式的值： 进一步巩固根与系数的关系，体会“整体代入”思想在解题中的运用，可起到简便运算的作用. 补 偿 提 高 11（1）+ x1x2 （2）x1+x2 22 对内容的升华理解认识 - 3 -
1、这节课我们学习了什么知识？有何作
学生独立思考，师生梳理本课的知识点及方法 1．如果一元二次方程2
ax+bx+c=0（a≠0）的两个根是x1，x2，那么x1+x2=____，x1x2=____．
2
2．如果方程x+px+q=0
2
（p、q为已知常数，p－4ｑ≥0）的两个根是x1，x2，那么x1+x2=_____，x1x2=________；
以两个数x1，x2为根的一元二次方程（二次项系数为1） . 注意：根与系数的关系使用的前提条件____________________.
2、运用本节课所学知识解决问题时要注意
些什么？ 3、这节课我们学到了解决数学哪些方法？
运用了哪些数学思想？
小 结
用？
作 业
教师布置作业，并提出要求.
1.教科书课后练习.
学生课下独立完成，延续
2.教科书习题21.2第7题. 课堂. 选作：
1.已知两个数的和等于8，积等于9，求这 考察学生灵活运用
知识解决问题能力，让学两个数？
生感受到根与系数的关
2 2.若一元二次方程x+ax+2=0的两根满足：系在解题中的运用，同时
也考察学生思维的严密
22x1+x2=12，求a的值. 性.
必做：
三、【板书设计】
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21.2.4 一元二次方程的根与系数的关系 1、对于ax2?bx?c?0(a?0)的方程，若b2?4ac?0，两根为x1，x2. 那么x1?x2??bc，x1?x2?. aa2、根与系数关系使用的前提是： （1）是一元二次方程，即a?0. （2）方程为一般形式。即形如：ax2?bx?c?0. （3）判别式大于等于零，即b2?4ac?0. 四、【教后反思】
本节课通过情景对话，调动学生学习兴趣，激发起学生的好奇心和求知欲，在此推动下，引领学生展开探究活动，并将探究根与系数的关系时分两个层次（即将二次项系数为1和非1的一元二次方程分两次出现）. 收获： 1. 一元二次方程根与系数的关系的推导是在求根公式的基础上进行。它深化了两根的和与积同系数之间的关系，是我们今后继续研究一元二次方程根的情况的主要工具，必须熟记，为进一步使用打下基础. 2．以一元二次方程根与系数的关系的探索与推导，向学生展示认识事物的一般规律，提倡积极思维，勇于探索的精神，借此锻炼学生分析、观察、归纳的能力及推理论证的能力. 3.使学生体会解题方法的多样性，开阔解题思路，优化解题方法，增强择优能力。力求让学生在自主探索和合作交流的过程中进行学习，获得数学活动经验. 不足： 学生对于利用根与系数的关系来解决一些有关一元二次方程的问题还不够熟练，思路不清， 两根和、两根积有小部分同学有些混淆. 总之，在整个教学设计中，充分发挥了教师主导、学生主体的作用，通过学生自身体
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验过程、探究发现，激发学生获得求知的欲望；通过发现、猜想、证明的过程，使学生感受数学研究的方法与思想。学习例题、习题中渗透的数学的思想.
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