第10讲 数阵图和幻方（二）
幻方问题的研究在我国已流传了两千多年，它是具有独特形式的填数字问题。传说公元前二千多年，在大禹治水的时候，在黄河支流洛水浮起一只大乌龟，它的背上有个奇特的图案，（如图1），后来人们把它称之为“洛书”、
相传在我国远古的时代，有一匹龙马游于黄河，马背上负有一幅奇的图案，这就是所谓的“河图”，实际上它是由九个数字排成一定的格式（如图2），图中有一个非常有趣的性质：它的横、竖、对角线上的每三个数字之和都是15。
一般地，在n×n（n行n列）的方格内，不重不漏填上n×n个连续自然数，并且每行、每列、每条对角线上n个自然数的和都相等，则称它为n阶幻方。这个和叫做幻和，n叫做阶。
幻方又叫魔方，九宫算或纵横图。
魔方：我国的纵横图通过东南亚国家，印度、阿拉伯传到西方。由于纵横图具有十分奇幻的特性，西方把纵横图叫作Magic Square，翻译成中文就是“幻方”或“魔方”。
九宫算：所谓九宫，就是将一个正方形用两组与边平行的分割线，每组两条，分割成的九个小正方格。每个小方格分别填入从1到9这九个自然数中的其中一个，不同的方格填入的数不同，使得三横行中每一横行三个数的和（叫行和），三纵列中每一纵列三个数的和（叫列和），两条对角线中每一条对角线上三个数的和（叫对角和）都相相等，这样得到的图就叫九宫（算）图。
纵横图：长期以来，纵横图一直被看作是一种数字游戏。一直到南宋时期的数学家杨辉，才真正把它作为一个数学问题而加以深入的研究。杨辉在他的《续古摘奇算法》一书中，不仅搜集到了大量的各种类型的纵横图，而且对其中的部分纵横图还给出了如何构造的规则和方法，从而开创了这一组合数学研究的新领域。 解决幻方问题的关键是确定中心数和顶点数。（定中间数，填四角数，算其余数） 三阶幻方：就是将九个连续自然数填入3×3（三行三列）的方格内，使每行每列、每条对角线的和相等，这叫做三阶幻方。 奇数阶幻方： “罗伯法”“楼贝法”
西欧在十六，十七世纪时，构造幻方非常盛行。十七世纪，法E路第十四对构造幻方有着浓厚的兴趣，他专门派De La Loubere（楼贝）出使泰国（1687-1688），Loubere：将在邏罗学的构造作画何奇数阶幻方法的一种统一的方法
1居上行正中央，依次斜填切莫忘，上出框时往下填，右出框时左边放，排重便在下格填，右上排重一个样。
扬辉方法：扬辉在《续古摘奇算法》中，写到“九子排列，上下对易，左右相更，四维挺出”
杨辉给出的方形纵横图共有十三幅，它们是：洛书数（三阶幻方）一幅，四四图（四阶幻方）两幅，五五图（五阶幻方）两幅，六六图（六阶幻方）两幅，七七图（七阶幻方）两幅，六十四图（八阶幻方）两幅，九九图（九阶幻方）一幅，百子图（十阶幻方）一幅（参见图1-9-3）。其中还给出了“洛书数”和“四四阴图”的构造方法。如“洛书数”的构造方法为：“九子斜排，上下对易，左右相更，四维挺出”。
但可惜的是，杨辉只停留在个别纵横图的构造上，没有上升成一般的理论。他所造出的百子图，虽然每一行和，每一列都等于（1+2+3+…97+98+99+100）=505，但两对角和不是等于505，直到我国清代的张潮（165—？）费了九牛二虎之力才造出第一个两对角和也是505的百子图。 偶数阶幻方：对称交换的方法。
1、将数依次填入方格中，对角线满足要求。
2、调整行，对角线数不动，对称行的其它数对调。 3、调整列，对角线数不动，对称列的其它数对调。
数阵图：把一些数字按照一定的要求，排列成各种各样的图形，叫做数阵图。 1、封闭型：封闭型数阵图的解题突破口，是确定各边顶点所应填的数。为确定这些数，采用的方法是建立有关的等式，通过以最小值到最大值的讨论，来确定每条边上的几个数之和，再将和数进行拆分以找到顶点应填入的数，其余的数再利用和与顶点的数就容易被填出。（1—6）
2、辐射型：辐射型数阵图，解法的关键是确定中心数。具体方法是：通过所给条件建立有关等式，通过整除性的讨论，确定出中心数的取值，然后求出各边上数的和，最后将和自然数分拆成中心数的若干个自然数之和，确定边上其他的数。（1—9和相等）
3、复合型：复合型数阵图，解题的关键是要以中心数和顶点数为突破口。（1~7，和相等）
典型举例1
将1～8这八个数分别填入右图的○中，使两个大圆上的五个数之和都等于21。
解：中间两个数是重叠数，重叠次数都是1次，所以两个重叠数之和为 21×2-(1+2+…+8)=6。
在已知的八个数中，两个数之和为6的只有1与5，2与4。每个大圆上另外三个数之和为21-6=15。
如果两个重叠数为1与5，那么剩下的六个数2，3，4，6，7，8平分为两组，每组三数之和为15的只有 2+6+7=15和3+4+8=15， 故有左下图的填法。