2019-2020年中考数学备考专题复习六开放性数学题型及
解法探究检测
近年来，各地中考数学试卷中开放性试题所占的比例逐年增大。不少地区中考数学压轴题都是由开放性试题当家的。尽管中考开放性试题几乎年年都有新面孔，但仔细析来，不外乎有以下几种常见题型：1、自编问题型；2、阅读理解型；3、决策运筹型；4、数学建模型；5、方案设计型；6、信息迁移型；7、单一判断型；8、条件存在型；9、题设取舍型；10、探索结论型； 11、过程动态型；12、分类讨论型。以上题型在中考试卷中有时单独成题，有时多型合题。 解答这些开放性数学中考题，不仅要求学生具有厚实的基本功和一定的数学思想方法，而且要求学生具有较强的发散思维能力和创新精神。不过，完整地解答开放性数学中考题也不是高不可攀的。因为，不同题型的分析思路还是有一定的规律可循的。
例1 （2000年泉州市）写出一个只含有字母x的代数式（要求：（1）要使此代数式有意义，字母x必须取全体正数；（2）此代数式的值恒为负数）：________。 解 -（或-，-，…）。
评注 自编问题型的答案是丰富多彩的，只要把语言叙述的条件转变为数学表达式即可。
例2 （2000年安徽省）比较下面两列算式结果的大小（在横线上选填“>”“<”“=”）。
42+32_______2×4×3； (-2)2+12_______2×(-2)×1； (
)2+()2_______2××；
22+22______2×2×2。
通过观察归纳，写出能反映这种规律的一般结论，并加以证明。 解 由上而下应填：>、>、>、=。
一般结论：如果a，b是两个实数，那么a2+b2≥2ab。 ∵(a-b)2≥0，∴a2-2ab+b2≥0，∴a2+b2≥2ab。
评注 解阅读理解题应：①细看——感悟材料的表象；②泛想——归纳材料的共性；③敢猜——揭示材料的规律；④慎证——说明猜想的合理性。
例3 （1998年河北省）某工厂有甲种原料360千克，乙种原料290千克，计划用这两种原料生产A，B两种产品共50件。已知生产一件A种产品，需用甲种原料9千克，乙种原料3千克，可获利润700元；生产一件B种产品，需用甲种原料4千克，乙种原料10千克，可获利润1200元。
（1）按要求安排A，B两种产品的生产件数，有哪几种方案？请你设计出来。
（2）设生产A，B两种产品获总利润为y（元），其中一种产品的生产件数为x，试写出y与x之间的函数关系式，并利用函数的性质说明哪种生产方案获总利润最大？最大利润是多少？
解 （1）设安排生产A种产品x件，则生产B种产品(50-x)件。
由
得30≤x≤32。
∵x为整数，∴x取30，31或32。
∴生产方案有三种：①生产A种产品30件，B种产品20件；②生产A种产品31件，B种产品19件；③生产A种产品32件，B种产品18件。
（2）依题意得：y=700x+1200(50-x)， ∴y=-500x+60000，
∵y随x的增大而减小，∴当x=30时，y的值最大。 即按第一种方案安排生产，所获最大利润为45000元。 评注 这道题集决策运筹、方案设计和数学建模于一身。对于方案，通常不止一套，但我们应选最佳的。特别是几何图形的设计，更应如此。至于决策题，通常与经济题紧密相联，涉及到函数和不等式（组）等知识。解这类题的关键是建立相应的数学模型。运用数学建模方法解决实际问题，一般要经过三个环节： 实际问题函数]
数学问题[算式、方程、不等式（组）、
解答数学问题
回归实际问题。
的自变量x取值范围
例4 （1999年扬州市）若函数y=是一切实数，则c的取值范围是（ ） （A）c>1 （B）c=1 （C）c<1 （D）c≤1 解 应选A。