数值分析课后习题和解答

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5. 求证.

解:解:只要按差分定义直接展开得

6. 已知

的函数表

求出三次Newton均差插值多项式,计算f(0.23)的近似值并用均差的余项表达式估计误差. 解:根据给定函数表构造均差表

由式(5.14)当n=3时得Newton均差插值多项式

N3(x)=1.0067x+0.08367x(x-0.2)+0.17400x(x-0.2)(x-0.3) 由此可得

f(0.23) N3(0.23)=0.23203 由余项表达式(5.15)可得

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由于

7. 给定f(x)=cosx的函数表

用Newton等距插值公式计算cos 0.048及cos 0.566的近似值并估计误差 解:先构造差分表

计算公式

,用n=4得Newton前插

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误差估计由公式(5.17)得

其中计

Newton

(5.18)

误差估计由公式(5.19)得

这里仍为0.565

8. 求一个次数不高于四次的多项式p(x),使它满足

解:这种题目可以有很多方法去做,但应以简单为宜。此处可先造

使它满足

,显然

p(x)=x2(2-x)+Ax2(x-1)2 由p(2)=1求出A= ,于是

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,再令

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9. 令

求的表达式,并证明多项式序列。 解:因

称为第二类Chebyshev多项式,试是[-1,1]上带权

的正交

10. 用最小二乘法求一个形如下列数据,并计算均方误差.

的经验公式,使它拟合

解:本题给出拟合曲线程系数

,即

,故法方

法方程为

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