数值分析课后习题和解答

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(2)定义(3)定义(4)只要

是一种范数矩阵 ( ) 是一种范数矩阵 ( ) ,则A总可分解为A=LU,其中L为单位下三

角阵,U为非奇上三角阵 ( ) (5)只要解 ( )

(6)若A对称正定,则A可分解为素为正的下三角阵 ( ) (7)对任何

都有

( ) ( )

,其中L为对角元

,则总可用列主元消去法求得方程组

(8)若A为正交矩阵,则

答案: (1)(+)(2)(-)(3)(+)(4)(-) (5)(+)(6)(+)(7)(-)(8)(+)

第六章 解线性方程组的迭代法

习题六

1. 证明对于任意的矩阵A,序列零矩阵 解:由于故

2. 方程组

收敛于

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(1) 考查用Jacobi法和GS法解此方程组的收敛性. (2) 写出用J法及GS法解此方程组的迭代公式并以

计算到

为止

解:因为

具有严格对角占优,故J法与GS法均收敛。 (2)J法得迭代公式是

,迭代到18次有

GS迭代法计算公式为

3. 设方程组

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证明解此方程的Jacobi迭代法与Gauss-Seidel迭代法同时收敛或发散

解:Jacobi迭代为其迭代矩阵

,谱半径为

迭代法为

,而Gauss-Seide

其迭代矩阵

,其谱半径为

由于

,故Jacobi迭代法与Gauss-Seidel法同

时收敛或同时发散。

4. 下列两个方程组Ax=b,若分别用J法及GS法求解,是否收敛?

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解:Jacobi法的迭代矩阵是

,故

,J法收敛、

GS法的迭代矩阵为

,解此方程组的GS法不收敛。

5. 设,detA≠0,用,b表示解方程组Ax=f

的J法及GS法收敛的充分必要条件. 解 J法迭代矩阵为

,故J法收敛的充要条件是

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。GS法迭

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