V?V0
T??V0T0 (4)
n1.11 满足pV?C的过程称为多方过程，其中常数n名为多方指数。
试证明：理想气体在多方过程中的热容量Cn为
Cn?n??Cvn?1
证明：根据热力学第一定律，有
CndT?CVdT?pdV (1)
npV?C化为 利用理想气体的物态方程，可将
TVn?1?C1
将上式微分，得
dV??
VdTRdT??(n?1)T(n?1)p (2)
将(2)代入(1)式，得
n??Cn?CV?CV?CV.n?1n?1
1.12 试证明：在某一过程中理想气体的热容量Cn如果是常数，该过
??1n?程一定是多方过程，多方指数容热容量是常数。
证明：根据热力学第一定律
Cn?CpCn?Cp假设气体的定压热容量和定
. CndT?CVdT?pdV
9
由
pV?RT,有pdV?Vdp?RdT,将dT代入上式，得(
Cn?CVC?CV?1)pdV?nVdp?0RR 两边除以Pv，再经整理，得到
ndVDP??0，经积分即得pVn?C.VP
??????????s假设气体是理想气体， 1.13 声波在气体中的传播速度为
其定压和定容热容量是常量。试证明气体单位质量的内能u和焓h可由声
2?2?u?h??(??1)??1＋常量 速及?给出： ＋常量，
??p?证明：理想气体在准静态的绝热过程中，
pV??C，经积分，得
dpdV???0pV,
?pp)S???V (1) 从而得到?V( 因为
??MV,所以
?p?p?VpMpMV2pVRT()S?()S()S?(??)(?2)??????2???V??VVMM ?M
?p??()S???
?RTMa2T?M， 故 ?R (2)
对于理想气体，内能和焓分别为
U?CV?常数 ， H?Cp?常数 (3)
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把(2)中的T代入(3)式，并注意到 得单位质量的内能u和焓h为
Cp?CV?R和CP/CV??
a2a2?常数。u??常数，h???1?(??1)
1.14 大气温度随高度降低的主要原因是在对流层中的低处与高处之间不断发生对流。由于气压随高度而降低，空气上升时膨胀，下降时收缩。空气的导热率很小，膨胀和收缩的过程可以认为是绝热过程。试计算大气
dT温度随高度的变化率dz，并给出数值结果。
dp(z)???(z)g [提示：根据流体静力学可导出气压随高度的变化率 dz??T???1T(z)?????p??p(z)，从而可以求出。?s再利用理想气体的绝热方程求出 ?dT(??1)m?g??,?1dz?R答：数值结果：-10K?km.]
解：(i) 首先讨论在热平衡下，大气压如何随高度而改变。要注意到热平衡条件中包括力平衡条件，考虑在高度z和z+dz之间，其截面积为A的空气圆柱体（图1.14），作用在它的上截面和下截面的力分别为
?p(z?dz)A和p(z)A
作用在圆柱内空气的重力为??(z)Adz ， z+dz 由上述三个力的平衡条件: ?p(z?dz)A+
p(z)A??(z)Adz=0
ρ(z)gAdz z dp(z)???(z)g，
得到dz
11
P(z)A (ii) 把(1)式的ρ(z)变换到p(z): 如果空气的平均分子量为m，则1mol空气的体积为
mRTP??(z)，则可把理想气体的物态方程，V表为
p(z)?mRT(z)?(z)?p(z)?(z)RT(z)m， 和
于是(1)式变为
dp(z)mg??p(z)dzRT(z) (2)
(iii) 现考虑理想气体的准静态绝热过程：
??TdT(z)????pdz? 从
?dp(z)??dz (3) ?S??T????p???S的表达式。 知，下面的任务是要求关于? 由热力学第一定律及物态方程，在绝热过程中
dQ?CVdT?pdV?CVdT?RTdV?0V (4)
由pV?RT,有pdV?Vdp?RdT,两边除以pV?RT,得
dVdTdp??Tp (5) VR?CP?CV和?＝CPCV则得
将(5)式代入(4)式，注意到
dT??1dp?p T 12