习题1
一、 填空题
1．玻尔的量子化条件为 。
2．德布罗意关系为 。 3．用来解释光电效应的爱因斯坦公式为 。 4．波函数的统计解释：_____________________________________ __________________________________________________________ 5．
为归一化波函数，粒子在
方向、立体角
内出现的几率
的球壳内粒子出现的几
为 ，在半径为 ，厚度为 率为 。 6．波函数的标准条件
为 。 7．
，
为单位矩阵，则算符
的本征值为__________。
8．自由粒子体系，__________守恒；中心力场中运动的粒子 ___________守恒。
9．力学量算符应满足的两个性质
是 。 10．厄密算符的本征函数具
有 。 11．设
为归一化的动量表象下的波函数，则
的物理意义为
_______________________________________________。 12.
______;
_______;
_________。
___。
28．如两力学量算符 有共同本征函数完全系，则
13．坐标和动量的测不准关系是____________________________。 14．在定态条件下，守恒的力学量是_______________________。 15．隧道效应是指__________________________________________。 16．量子力学中，原子的轨道半径实际是指____________________。 17．
。
18．对氢原子，不考虑电子的自旋，能级的简并度为 ，考虑自旋但不考虑自旋与轨道角动量的耦合时，能级的简并度为 ，如再考虑自旋与轨道角动量的耦合，能级的简并度为 。 19．设体系的状态波函数为 符
与态矢量
，如在该状态下测量力学量
有确定的值
，则力学量算
为氢原子的波函数，
的取值范围分别
为
的关系为__________。
20．力学量算符 在态 下的平均值可写为 的条件为
____________________________。
21．量子力学中的态是希尔伯特空间的____________；算符是希尔伯特空间的____________。
21．设粒子处于态
数c的取值为 ，
，
本征值为
， 为归一化波函数， 为球谐函数，则系
的可能值为
出现的几率为 。
22．原子跃迁的选择定则
为 。 23．自旋角动量与自旋磁矩的关系
为 。 24．
为泡利算符，则
，
，
。
25．
为自旋算符，则
，
，
。
26．乌伦贝克和哥德斯密脱关于自旋的两个基本假设是 ________________________， _______________________________。
27．轨道磁矩与轨道角动量的关系是______________;自旋磁矩与自旋角动量的关系是______________。
27．费米子所组成的全同粒子体系的波函数具有______________, 玻色子所组成的全同粒子体系的波函数具有_________。
27． 考虑自旋后，波函数在自旋空间表示为 （已归一化），则在态
下，自旋算符 对自旋的平均可表示为_______________；对坐标和自旋同时
求平均的结果可表示为______________________。
27． 考虑自旋后，波函数在自旋空间表示为
的意义为_____________________；
_________________。
二、 计算题
（已归一化），则
1．在 和 的共同表象中，算符 和
的矩阵分别为
，
和
。 对角化。
求它们的本征值和归一化本征函数，并将矩阵 2． 一维运动粒子的状态是
其中
，求
（1） 粒子动量的几率分布函数；（2）粒子的平均动量。
（利用公式 3． 设在
表象中，
） 的矩阵表示为
其中
，试用微扰论求能级二级修正。（10分）
4． 在自旋态 5．
中，求
。（10分）
也是厄密算符的条件是
的矩阵元。 方向的投影
的本征值和所属的本征函数。
对易。
各是厄密算符。试证明，
的矩阵元和
6． 在动量表象中角动量 7．求自旋角动量在
8．转动惯量为 ，电偶极矩为 的空间转子处在均匀电场
中，如果电场很小，用微扰论求转子基态能量的二级修正。（10分）
（基态波函数
，利用公式
）