应,不符合函数的定义.因此A不正确;B的图象是关于x轴对称也不符合函数的定义.因此B也不正确;C的图象是关于原点对称,但是当自变量x=0时,有两个y值与之对应,不符合函数的定义.∴C选项也不正确;D表示的图象符合函数的定义,因此它表示的是函数的图象.因此选D. 【答案】 D 4. (1)y=2+
3; x?2(2)y=3?x·x?1;
(3)y=(x-1)+
0
2. x?1【思路解析】 给定函数时,要指明函数的定义域.对于用解析式表示的函数,如果没有给出定义域,那么就认为函数的定义域是指使函数有意义的自变量的取值集合.因为函数的定义域是同时使思路分析式各部分有意义的x值的集合,所以应取各部分的交集. 【答案】 (1)要使函数有意义,当且仅当x-2≠0,即x≠2,所以这个函数的定义域为{x|x∈R且x≠2}.
?3?x?0,(2)要使函数有意义,当且仅当?解得1≤x≤3,所以这个函数的定义域为{x|
x?1?0,?x∈R且1≤x≤3}.
?x?1?0,?(3)要使函数有意义,当且仅当?2解得x>-1且x≠1,所以这个函数的定义域为
?0,??x?1{x|x>-1且x≠1}.
5. 若函数f(x+1)的定义域为[0,1],则f(3x-1)的定义域为 . 【思路解析】 ∵0≤x≤1, ∴1≤x+1≤2.
又∵f(x+1)和f(3x-1)在对应法则上有联系, ∴1≤3x-1≤2.
22≤x≤1,即f(3x-1)的定义域为≤x≤1. 332【答案】≤x≤1
3∴
6. 如图,有一块边长为a的正方形铁皮,将其四个角各截去一个边长为x的小正方形,然后折成一个无盖的盒子,写出体积V以x为自变量的函数式是 ,这个函数的定义域为 .
【思路解析】 据长方体的体积公式,易得V=x(a-2x),其中0<x<【答案】 V=x(a-2x) {x|0<x<
2
2
a. 2a} 2?2x?2,?1?x?0,?11?7. 设f(x)=??x,0?x?2,则f(-)=
2?2??3,x?2,=________.
【思路解析】 分清自变量对应的解析式.
,f(1)=________,f(6)
1 3 21x8. 如果f()=,求f(x)的解析式.
x1?x2【答案】 1 -
【思路解析】 函数解析式y=f(x)是自变量x确定y值的关系式,本题实质是求经怎样的变形得到
x这一结果. 21?xx11xx2=x【答案】 配凑法:∵f()==, 211x1?x2()?12x?1xx∴f(x)=2(x∈R且x≠0,x≠±1).
x?111x1换元法:设t=,则x=,代入f()=,得
xxt1?x21t
f(t)=t=2,
1t?11?2tx∴f(x)=2(x∈R且x≠0,x≠±1).
x?19. 已知一次函数y=f(x)满足f[f(x)]=4x+3,求一次函数的解析式. 【思路解析】 设f(x)=ax+b(a≠0),用待定系数法. 【答案】 设f(x)=ax+b(a≠0), ∴f[f(x)]=a·f(x)+b=a(ax+b)+b
=ax+ab+b. 2
∴ax+ab+b=4x+3.
2
?a2?4∴? ?ab?b?3?a?2?a??2∴? 或?b?1b??3??∴f(x)=2x+1或f(x)=-2x-3.
x210. 已知函数f(x)=(a、b为常数)且方程f(x)-x+
ax?b12=0有两个实根为
x1=3,x2=4,求函数f(x)的解析式.
【思路解析】 求出函数f(x)的解析式中的待定系数a、b是我们解题的目标,根据已知条件f(x)-x+12=0有两个实根为x1=3,x2=4,可以将题意转化为方程组求解.
?9??9?x2?3a?b【答案】 将x1=3,x2=4分别代入方程-x+12=0,得?
16ax?b???8??4a?b解之得??a??1
?b?2x2所以f(x)=(x≠2).
2?x11. 设函数f(x)满足f(x)+2f(-x)=x(x≠0),求f(x). 【思路解析】 以-x代换x,解关于-x、x的方程组,消去-x. 【答案】 ∵f(x)+2f(-x)=x① 以-x代换x,得f(-x)+2f(x)=-x 解①②组成的方程组得f(x)=-3x.
12. 已知f(xy)=f(x)f(y),且f(0)≠0,求f(x).
【思路解析】 可利用赋值法求解.赋值法:在求函数的解析式时,有时候要“以退求进”,即把自变量赋于特殊值展现内在联系,或者减少变量个数,以利求解.
【答案】 由于等式f(xy)=f(x)f(y)对于一切实数都成立,故不妨设y=0,代入得f(x·0)=f(x)·f(0),即f(0)=f(x)·f(0). 又∵f(0)≠0,∴f(x)=1.
2
13. 已知a为实数,x∈(-∞,a),则函数f(x)=x-x+a+1的最小值是( ) A. a+
2
3 4B. a+1 C. 1 D. a+1或a+
2
3 4
【思路解析】 此题考查用配方法求二次函数,并用分类讨论的数学思想确定函数的最小值.
12312
)+a+,若a≤,则函数f(x)=x-x+a+1在(-∞,a)上单调递减,从2421222
而函数f(x)=x-x+a+1在(-∞,a)上的最小值为f(a)=a+1;若a>,则函数f(x)=x-x+a+1
213在(-∞,a)上的最小值为f()=a+.
241132
综上,当a≤时,函数的最小值为a+1;当a>时,函数的最小值为a+.因此选D.
224f(x)=x-x+a+1=(x-2
【答案】 D
2
14. 二次函数y=-x+6x+k的值域为(-∞,0],求k的值.
2
【思路解析】 ∵二次函数y=-x+6x+k的值域为(-∞,0],
∴其最小值为0,即顶点纵坐标为0,从图形上看就二次函数的图象与x轴相切.
22
【答案】 法1:y=-x+6x+k=-(x-3)+k+9. ∵值域为(-∞,0], ∴k+9=0,k=-9.
法2:∵二次函数开口向下,值域为(-∞,0], ∴其图象与x轴相切,判别式Δ=0,
2
即Δ=6-4·(-1)·k=36+4k=0. ∴k=-9. 15. 函数y=
2x?3的值域是( )
2x?3A. (-∞,-1)∪(-1,+∞) B. (-∞,1)∪(1,+∞) C. (-∞,0)∪(0,+∞) D. (-∞,0)∪(1,+∞)
【思路解析】 因为函数的分子与分母都是关于x的一次函数,所以可用“分离常数法”求此函数的值域.
2x?3
2x?3(2x?3)?6=
2x?36=1-
2x?36∵≠0,∴y≠1.故选B. 2x?3y=
【答案】 B
16. 求函数y=2x-3+4x-13的值域.
【思路解析】 函数解析式中含有根式,并且根式内x的次数与根式外的x的次数相同,故可用“换元法”来求值域.
t2?13【答案】 令t=4x-13(t≥0),则x=.
4