圆的方程与专题复习（直线与圆、圆与圆的位置关系、轨迹问题）
知识梳理
浙江省诸暨市学勉中学（311811）郭天平
圆的标准方程、一般方程与参数方程的推导与运用是这节内容的重点；涉及直线与圆、圆与圆的位置关系的讨论及有关性质的研究是这节的难点。
一、有关圆的基础知识要点归纳
1． 圆的定义：平面内与定点距离等于定长的点的集合（轨迹）是圆.定点即为圆心，定长为半径.
2． 圆的标准方程
① 圆的标准方程：由圆的定义及求轨迹的方法，得?x?a???y?b??r2?r?0?，
22其中圆心坐标为?a,b?，半径为r；当a?0,b?0时，即圆心在原点时圆的标准方程为
x2?y2?r2；
② 圆的标准方程的特点：是能够直接由方程看出圆心与半径，即突出了它的几何意义。
3． 圆的一般方程
①圆的一般方程：展开圆的标准方程，整理得，
x2?y2?Dx?Ey?F?0D2?E2?4F?0；
② 圆的一般方程的特点：（1）x2,y2项系数相等且不为0；（2）没有xy这样的二次项
③ 二元二次方程Ax2?Bxy?Cy2?Dx?Ey?F?0表示圆的必要条件是
??A?C?0且B?0；
二元二次方程Ax2?Bxy?Cy2?Dx?Ey?F?0表示圆的充要条件是A?C?0且B?0且D?E?4AF?0
4． 圆的参数方程
圆的参数方程是由中间变量?将变量x,y联系起来的一个方程.
22① 圆心在原点，半径为r的圆的参数方程是：??x?rcos?； (?为参数）
?y?rsin?1 / 5
?x?a?rcos?② 圆心在?a,b?，半径为r的圆的参数方程是：?； (?为参数）
y?b?rsin??5． 圆方程之间的互化
x2?y2?Dx?Ey?F?0D2?E2?4F?0
配方???E?D??E?D2?E2?4F?D?即圆心?，?x??x????，半径????2?2??2?4?2?22r??x?a?rcos?1D2?E2?4F?利用?rcos??2??rsin??2?r2得? (?为参数）2?y?b?rsin?6． 确定圆方程的条件
圆的标准方程、圆的一般方程及参数方程都有三个参数，因此要确定圆方程需要三个独立的条件，而确定圆的方程我们常用待定系数法，根据题目不同的已知条件，我们可适当地选择不同的圆方程形式，使问题简单化。如已知条件中涉及圆心与半径有关等条件，一般设圆的标准方程，即列出a,b,r的方程组，求出a,b,r的值，也可根据圆的特点直接求出圆心?a,b?，半径r。当圆心位置不能确定时，往往选择圆的一般方程形式，由已知条件列出D,E,F的三个方程，显然前者解的是三元二次方程组，后者解的是三元一次方程组，在运算上显然设一般式比标准式要简单。
7． 点与圆的位置关系
设圆C:?x?a???y?b??r2，点M?x0,y0?到圆心的距离为d，则有：
22(1)d?r?点M在圆外； (2)d?r ?点M在圆上； (3)d?r ?点M在圆内．
8． 直线与圆的位置关系
设圆C:?x?a???y?b??r2，直线l的方程为Ax?By?C?0（A,B不全为0），
22圆心?a,b?，判别式为△，则有：
(1) 几何特征（数形结合）：由圆心到直线的距离d与半径r的大小来判断 ① d?r ?直线与圆相交； ② d?r ?直线与圆相切； ③ d?r?直线与圆相离；
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(2) 代数特征：由直线方程与圆方程联立方程组，研究其解的个数来判断位置关系 ① △＞0?有两组不同的实数解? 直线与圆相交； ② △=0?有两组相同的实数解? 直线与圆相切； ③ △＜0?无实数解? 直线与圆相离.
(3) 直线与圆相交的弦长问题
①直线与圆相切时，要考虑过切点与切线垂直的半径；
②求弦长时，要用半径、弦心距、半弦长构成的直角三角形，即设弦长为l，弦心距
?l?为d，半径为r，则有???d2?r2.
?2?③弦长公式：设直线交圆于A?x1,y1?,B?x2,y2?，则AB?1?kAB?xA?xB
22或AB?1?1?yA?yB. 2k22 (4) 圆的切线方程：
① 设切点公式法：已知圆O1:x?y?r；O2:?x?a???y?b??r2；
222O3:x2?y2?Dx?Ey?F?0，则以M?x0,y0?为切点的圆O1切线方程为：
x0x?y0y?r2；圆O2切线方程为：?x0?a??x?a???y0?b??y?b??r2；圆O3切线方
程为：xx0?yy0?D?x?x0?E?y?y0???F?0. 22②设切线斜率用判别式法：用点斜式写出直线方程并与圆方程联立方程组，消x（y），再用判别式??0解出切线斜率k；若点在圆上，切线一条，点在圆内无切线，点在圆外，有两条切线；对切线斜率不存在的情况，可单独考虑。
③设切线斜率用圆心到切线距离等于圆的半径法
④若M?x0,y0?在圆O1外，到圆O1有两条切线，则切点弦方程：x0x?y0y?r2. 9．圆与圆的位置关系
设圆C1:?x?a???y?b??r2，C2:?x?m???y?n??R2且设两圆圆心距
2222为d.
(1) 几何特征（数形结合）：由圆心距与半径r、R的大小来判断 ① d?R?r?两圆外切；
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