p2?1， ∴y?220代入上式得
p2?12y21x22?????y?1， 22x?2p?222由①与y0?0，得y?0， ①÷②，得x?2p?2????1?x?0.
x?2p?2x2?y2?1?x?0,y?0?. 故点Q的轨迹方程为2（2）设点A?m,n??m?0,n?0?，过点A作椭圆的切线， 则切线的斜率存在且不为0，设斜率为k，
则切线方程为y?n?k?x?m??y?kx?n?km， 代入到椭圆方程整理， 得1?2k?2?x2?4k?n?km?x?2?n?km??2?0.
222??16k2?n?km??41?2k2?2?n?km??2??0，
??222即m?2k?2mnk?n?1?0.
????这个关于k的一元二次方程的两根即为kAB与kAD， 由kAB?kAD??1，
n2?1??1?m2?n2?3. 得2m?2设O为坐标原点，故可知OA?3， 同理，得OA?OB?OC?OD?3，
即点O为矩形ABCD外接圆的圆心，其中AC为直径，大小为23， 故矩形ABCD对角线长为定值23. 21．解：（1）由题意，得f??x??1?a?x. ex当1?a??1，即a?2时，f??x??0?f?x?在x???1,1?时为单调递减函数， 所以f?x?最大值为g?a??f??1??e?a?1?.
当?1?1?a?1，即0?a?2时，当x???1,1?a?时，f??x??0，f?x?单调递增； 当x??1?a,1?时，f??x??0，f?x?单调递减， 所以f?x?的最大值为g?a??f?1?a??ea?1.
当1?a?1时，即a?0时，f??x??0，f?x?在x???1,1?时为单调递增函数， 所以f?x?的最大值为g?a??f?1??1?a. e??e?a?1?,a?2,?a?1综上得g?a???e,0?a?2,
?1?a?,a?0.?e（2）令h?a??g?a??ka?t.
①当0?a?2时，h?a??g?a??ka?t?e由h??a??0，得a?1?lnk， 所以当a??0,1?lnk?时，h??a??0； 当a??1?lnk,2?时，h??a??0，
故h?a?最小值为h?1?lnk??k?k?1?lnk??t?0?t??klnk. 故当
a?1?ka?t?h??a??ea?1?k，
1?k?e且t??klnk时，g?a??ka?t恒成立. e②当a?2，且t??klnk时，h?a??g?a???ka?t??a?e?k??e?t. 因为e?k?0， 所以h?a?单调递增，
故h?a?min?h?2??2?e?k??e?t?2?e?k??e?klnk?e?2k?klnk.
令p?k??e?2k?klnk， 则p??k??lnk?1?0，
故当k??,e?时，p?k?为减函数， 所以p?k??p?e?， 又p?e??0， 所以当
?1?e??1?k?e时，h?a??0， e即h?a??0恒成立.
③当a?0，且t??klnk时，
?1?1h?a??g?a???ka?t??a??k???t，
?e?e因为
1?k?0， e所以h?a?单调递减， 故h?a?min?h?0??令m?k??11?t??klnk. ee1?klnk， e则m??k??1?lnk?0，
所以当k??,e?时，p?k?为增函数，
?1?e??所以m?k??m???0， 所以h?a??0，即h?a??0. 综上可得当
?1??e?1?k?e时，“t??klnk”是“g?a??ka?t成立”的充要条件. e2此时tk??klnk.
令q?k???klnk，
2则q??k???2klnk?k??k?2lnk?1?， 令q??k??0，得k?e?12.
??1?1?故当k??e,e2?时，q??k??0；
????1?当k??e2,e?时，q??k??0，
????1?1所以q?k?的最大值为q?e2??，
??2e1?1当且仅当k?e，t??klnk?e2时，取等号，
2?12故tk的最大值为
1. 2e22．解：（1）??4cos??6sin???2?4?cos??6?sin?
?x2?y2?4x?6y
??x?2???y?3??13.
圆心为?2,3?，半径为13. （2）把直线l的参数方程代入圆M的标准方程， 得?1?tcos??2???2?tsin??3??13， 整理得t??2cos??2sin??t?11?0，
22222???2cos??2sin???44?0，
设A,B两点对应的参数分别为t1,t2， 则t1?t2?2sin??2cos?，t1t2??11. 所以AB?t1?t2?2?t1?t2?22?4t1t2 ??2cos??2sin???4???11? ?4sin2??48. 因为sin2????1,1?， 所以AB??211,213?，
??即AB的最大值为213，最小值为211. 23．解：（1）对?x?R，f?x??x?x?a?x??x?a??a， 当且仅当x?x?a??0时取等号， 故原条件等价于a?2a?1，
即a?2a?1或a???2a?1??a?1， 故实数a的取值范围是???,1?.
（2）由2a?1?x?x?a?0，可知2a?1?0， 所以a?1， 2故?a?0.
??2x?a,x??a,?故f?x???a,?a?x?0,的图象如图所示，
?2x?a,x?0?
?a?2,???2b?a?2a?1,????5.
2b?3?a?2a?1b??.??????2