2016年上海市高中数学竞赛试题及答案
一、填空题（本题满分60分，前4小题每小题7分，后4小题每小题8分）
1.已知函数f?x??ax2?bx?c（a?0，a,b,c均为常数），函数f1?x?的图象与函数f?x?的图象关于y轴对称，函数f2?x?的图象与函数f1?x?的图象关于直线y?1对称，则函数
f2?x?的解析式为 ．
答案：f2?x???ax2?bx?c?2.
解 在函数y?f?x?的表达式中用?x代替x，得f1?x?x?abx2?c?，在函数y?f1?x?的
2表达式中用2?y代替y，得f2?x???ax?bx?c?2.
2.复数z满足z?1，w?3z? ．
22在复平面上对应的动点W所表示曲线的普通方程是 2zy2?1. 答案：x?252解 设z?a?bi,w?x?yi，则a?b?1，
222?a?bi??a?bi??a?bi?22?3?a?bi??2?a?bi???a2?b2??10abi.222x?yi?3?a?bi??22?3?a?bi??22?a?bi?222
y2222??a?b??4a2b2?1. 从而x?a?b,y?10ab，于是x?253.关于x的方程arctan2?arctan2答案：x?log23.
x?xx?x解 因为tanarctan2?tanarctan2?2?2?1，所以arctan2?arctan2x?x??6的解是 ．
????x?x??2，
解得arctan2?x?3,arctan2?x??6，则2x?3,x?log23.
4.红、蓝、绿、白四颗骰子，每颗骰子的六个面上的数字为1,2,3,4,5,6，则同时掷这四颗骰子使得四颗骰子向上的数的乘积等于36，共有 种可能． 答案：48．
解 四颗骰子乘积等于36，共有四种情形：
2（1）两个1，两个6，这种情形共C4?6种可能； 2（2）两个2，两个3，这种情形共C4?6种可能；
21（3）两个3，一个1，一个4，这种情形共C4C2?12种可能；
32,1（4），64各一个，这种情形共A4?24种可能．
综上，共有6?6?12?24?48种可能． 5.已知函数f?x??co?s??x,?g?x?x12?a?2?a0若存在x1,x2??0,1?，使?，
f?x1??g?x2?成立，则实数a的取值范围为 ．
答案；???1??3?,0???0,?. ?2??2?解 易知x??0,1?时，f?x????1,1?.只需求a的取值范围，使得g?x?能取到??1,1?中的值．
13，故只需g?0??1，解得0?a?. 2211（2）当a?0时，g?x?单调递减，因为g?x???，故只需g?0???1，解得??a?0.
22（1）当a?0时，g?x?单调递增，因为g?x???6.如图，有16间小三角形的房间，甲、乙两人被随机地分别安置在不同的小三角形房间，
那么他们在不相邻（指没有公共边）房间的概率是 （用分数表示）．
答案：
17. 20解法一 如图1，将小三角形房间分为三类：与第一类（红色）房间相邻的房子恰有一间，与第二类（绿色）房间相邻的房间恰有两间，与第三类（白色）房间相邻的房间恰有三间，从而满足条件的安置方法共有3??16?2??6??16?3??7??16?4??204种．从而所求概率为
20417?.
16?1520解法二 我们从反面考虑问题，如图2，每一对相邻房间对应着一条黄色的邻边，故所求概率为
1?18?2317?1??.
16?152020????????????????7.在空间，四个不共线的向量OA,OB,OC,OD，它们两两的夹角都是?，则?的大小是
． 答案：??arccos.
13
解 如图，ABCD为正四面体，角?即为?AOD，设E,M分别为BC和AD的中点，则
AE?DE,OA?OD，则中心O在EM上，从而O为△ADE的垂心， sin?ODE?sin?EAH?所以，????arccos.
8.已知??0,b?0,a?b?1，则a?b的取值范围为 ． 答案：1,34?．
33EH11??cos?DOH?. AE3313???a?b?解 注意到0?ab?42，及
21?a3?b3??a?b??a2?ab?b2???a?b???a?b??3ab?,
??