考点20 等腰三角形、等边三角形和直角三角形
一．选择题（共5小题）
1．（2018?湖州）如图，AD，CE分别是△ABC的中线和角平分线．若AB=AC，∠CAD=20°，则∠ACE的度数是（ ）
A．20° B．35° C．40° D．70°
【分析】先根据等腰三角形的性质以及三角形内角和定理求出∠CAB=2∠CAD=40°，∠B=∠ACB=（180°﹣∠CAB）=70°．再利用角平分线定义即可得出∠ACE=∠ACB=35°． 【解答】解：∵AD是△ABC的中线，AB=AC，∠CAD=20°， ∴∠CAB=2∠CAD=40°，∠B=∠ACB=（180°﹣∠CAB）=70°． ∵CE是△ABC的角平分线， ∴∠ACE=∠ACB=35°． 故选：B．
2．（2018?宿迁）若实数m、n满足等式|m﹣2|+边的边长，则△ABC的周长是（ ） A．12 B．10 C．8
D．6
=0，且m、n恰好是等腰△ABC的两条
【分析】由已知等式，结合非负数的性质求m、n的值，再根据m、n分别作为等腰三角形的腰，分类求解． 【解答】解：∵|m﹣2|+∴m﹣2=0，n﹣4=0， 解得m=2，n=4，
当m=2作腰时，三边为2，2，4，不符合三边关系定理；
当n=4作腰时，三边为2，4，4，符合三边关系定理，周长为：2+4+4=10． 故选：B．
=0，
3．（2018?扬州）在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于D，CE平分∠ACD交AB于E，则下列结论一定成立的是（ ）
A．BC=EC B．EC=BE C．BC=BE D．AE=EC
【分析】根据同角的余角相等可得出∠BCD=∠A，根据角平分线的定义可得出∠ACE=∠DCE，再结合∠BEC=∠A+∠ACE、∠BCE=∠BCD+∠DCE即可得出∠BEC=∠BCE，利用等角对等边即可得出BC=BE，此题得解．
【解答】解：∵∠ACB=90°，CD⊥AB， ∴∠ACD+∠BCD=90°，∠ACD+∠A=90°， ∴∠BCD=∠A． ∵CE平分∠ACD， ∴∠ACE=∠DCE．
又∵∠BEC=∠A+∠ACE，∠BCE=∠BCD+∠DCE， ∴∠BEC=∠BCE， ∴BC=BE． 故选：C．
4．（2018?淄博）如图，在Rt△ABC中，CM平分∠ACB交AB于点M，过点M作MN∥BC交AC于点N，且MN平分∠AMC，若AN=1，则BC的长为（ ）
A．4 B．6 C． D．8
【分析】根据题意，可以求得∠B的度数，然后根据解直角三角形的知识可以求得NC的长，从而可以求得BC的长．
【解答】解：∵在Rt△ABC中，CM平分∠ACB交AB于点M，过点M作MN∥BC交AC于点N，且MN平分∠AMC，
∴∠AMN=∠NMC=∠B，∠NCM=∠BCM=∠NMC， ∴∠ACB=2∠B，NM=NC，
∴∠B=30°， ∵AN=1， ∴MN=2， ∴AC=AN+NC=3， ∴BC=6， 故选：B．
5．（2018?黄冈）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD为AB边上的高，CE为AB边上的中线，AD=2，CE=5，则CD=（ ）
A．2 B．3 C．4 D．2
【分析】根据直角三角形的性质得出AE=CE=5，进而得出DE=3，利用勾股定理解答即可． 【解答】解：∵在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CE为AB边上的中线，CE=5， ∴AE=CE=5， ∵AD=2， ∴DE=3，
∵CD为AB边上的高， ∴在Rt△CDE中，CD=故选：C．
二．填空题（共12小题）
6．（2018?成都）等腰三角形的一个底角为50°，则它的顶角的度数为 80° ． 【分析】本题给出了一个底角为50°，利用等腰三角形的性质得另一底角的大小，然后利用三角形内角和可求顶角的大小． 【解答】解：∵等腰三角形底角相等， ∴180°﹣50°×2=80°， ∴顶角为80°． 故填80°．
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