第1讲 集合的概念与运算
[考纲解读] 1.了解集合的含义．体会元素与集合的关系，能用自然语言、图形语言、集合语言(列举法或描述法)描述具体问题．
2.理解集合间的相等与包含关系，会求集合的子集，了解全集与空集的含义．(重点) 3.在理解集合间的交、并、补的含义的基础上，会求两个集合的并集与交集，会求给定子集的补集．(重点、难点)
4.能使用Venn图表达集合间的基本关系及基本运算．
[考向预测] 从近三年高考情况来看，本讲一直是高考中的热点．预测2020年高考会以考查集合交、并、补的运算为主，结合不等式的解法，求函数的定义域、值域等简单综合命题，试题难度不大，以选择题形式呈现.
1．集合与元素
01确定性、□02互异性、□03无序性． (1)集合中元素的三个特征：□04属于或□05不属于两种，用符号□06∈或□07?表示． (2)元素与集合的关系有□08列举法、□09描述法、□10图示法． (3)集合的表示法：□(4)常见数集的记法
集合 符号
2．集合间的基本关系
3．集合的基本运算
4．集合的运算性质
01B?A. (1)并集的性质：A∪?＝A；A∪A＝A；A∪B＝B∪A；A∪B＝A?□02A?B. (2)交集的性质：A∩?＝?；A∩A＝A；A∩B＝B∩A；A∩B＝A?□03U；A∩(?UA)＝□04?；?U(?UA)＝□05A；?U(A∪B)＝(?UA)∩(?(3)补集的性质：A∪(?UA)＝□U自然数集 N 正整数集 N(或N＋) *整数集 Z 有理数集 Q 实数集 R B)；?U(A∩B)＝(?UA)∪(?UB)．
062n个，非空子集个数为□072n－1个，(4)若有限集A中有n个元素，则A的子集个数为□082n－1个，非空真子集的个数为□092n－2个． 真子集有□ 1
1．概念辨析
(1)若1∈{x，x2
}，则x＝±1.( )
(2){x|y＝x2
}＝{y|y＝x2
}＝{(x，y)|y＝x2
}．( ) (3){x|x≥2}＝{t|t≥2}．( )
(4)对于任意两个集合A，B，总有(A∩B)?A，A?(A∪B)．( ) 答案 (1)× (2)× (3)√ (4)√
2．小题热身
(1)若集合A＝{x|－2 答案 A 解析 A∩B＝{x|－2 (2)设全集U＝{x|x∈N* ，x<6}，集合A＝{1,3}，B＝{3,5}，则?U(A∪B)等于( A．{1,4} B．{1,5} C．{2,5} D．{2,4} 答案 D 解析 ∵U＝{1,2,3,4,5}，A∪B＝{1,3,5}，∴?U(A∪B)＝{2,4}． (3)已知集合A＝{1,3，m}，B＝{1，m}，若B?A，则m＝________. 答案 0或3 解析 ∵A＝{1,3，m}，B＝{1，m}，B?A， ∴m＝3或m＝m， ∴m＝3或0或1，经检验m＝0或3. (4)已知集合A＝??8?x，y??? ，B＝{0，x2}，且A＝B，则集合A的子集为________．答案 ?，{0}，{4}，{0,4} 解析 由题意得8x＝x2 ，y＝0，解得x＝2， 所以A＝{0,4}，其子集为?，{0}，{4}，{0,4}． 题型 一 集合的基本概念 1．若集合A＝{x∈R|ax2 －3x＋2＝0}中只有一个元素，则a等于( ) A.9992 B.8 C．0 D．0或8 答案 D ) 2 ?2? 解析 当a＝0时，A＝??，符合题意； ?3? 当a≠0时，Δ＝(－3)－4×a×2＝0， ?4?9 解得a＝，此时A＝??，符合题意． 8?3? 2 9 综上知a＝0或. 8 2．(2018·全国卷Ⅱ)已知集合A＝{(x，y)|x＋y≤3，x∈Z，y∈Z}，则A中元素的个数为( ) A．9 B．8 C．5 D．4 答案 A 解析 ∵x＋y≤3，∴x≤3，∵x∈Z，∴x＝－1,0,1， 当x＝－1时，y＝－1,0,1；当x＝0时，y＝－1,0,1；当x＝1时，y＝－1,0,1，所以 2 2 2 2 2 A中元素共有9个，故选A. 3．若集合A＝{a－3,2a－1，a－4}，且－3∈A，则实数a＝________. 答案 0或1 解析 因为－3∈A，所以a－3＝－3或2a－1＝－3或a－4＝－3， 解得a＝0或a＝－1或a＝1. 当a＝0时，A＝{－3，－1，－4}，符合题意； 当a＝－1时，2a－1＝a－4＝－3，不满足集合中元素的互异性，故舍去； 当a＝1时，A＝{－2,1，－3}，符合题意． 综上知a＝0或1. 1．用描述法表示集合的两个关键点 (1)搞清楚集合中的代表元素是什么．如举例说明1,3是数，举例说明2是有序数对(或平面内的点)． (2)看这些元素满足什么限制条件．如举例说明1，关于x的方程只有一个实根．举例说明2，x，y是整数且满足x＋y≤3. 2．两个易错点 (1)忽视集合中元素的互异性．如举例说明3，求出a值后应注意检验． 1．设集合A＝{0,1,2,3}，B＝{x|－x∈A,1－x?A}，则集合B中元素的个数为( ) A．1 B．2 C．3 D．4 答案 A 解析 若x∈B，则－x∈A，所以x只可能取0，－1，－2，－3.逐一检验可知B＝{－3}，只有1个元素． 2．已知集合A＝{x|x＝3k－1，k∈Z}，则下列表示正确的是( ) 3 2 2 2 2 2 (2)忽视分类讨论．如举例说明1，要分a＝0与a≠0两种情况讨论．