2018届西南名校联盟高三元月考试(理科数学)试题(解析版)

得点的横坐标为则故设平面∴令∴∵直线∴直线与平面与平面,得,,,点的竖坐标为,

,,,,, 得,∴平面 所成角为锐角或直角, 所成角的正弦值为. 的一个法向量为 , , , ,

的一个法向量为点睛:本题主要考查了直线与平面垂直的判定,空间向量在立体几何中的应用之线面角的求法.空间向量解答立体几何问题的一般步骤是:(1)观察图形,建立恰当的空间直角坐标系;(2)写出相应点的坐标,求出相应直线的方向向量;(3)设出相应平面的法向量,利用两直线垂直数量积为零列出方程组求出法向量;(4)将空间位置关系转化为向量关系;(5)根据定理结论求出相应的角 20. 已知抛物线直线与线段上的两个动点,的横坐标,线段的中点坐标为,的垂直平分线相交于点. (1)求点的坐标; (2)求的面积的最大值.

(Ⅱ).

的斜率,进而求出线段的垂直平分线方程,联立与抛物线的方程,结的表达式,再构【答案】(Ⅰ)【解析】试题分析:(1)根据题设条件可求出线段直线与线段的垂直平分线方程,即可求出点的坐标;(2)联立直线的长,再求出点到直线的距离,即可求出合韦达定理及弦长公式求出线段造新函数,即可求出最大值. 试题解析:(1)∵,有,又点M不在抛物线C上,有,而,,

∴线段的斜率为 ,

页 11第

∴线段的垂直平分线方程为,即,

由得,

即∴点的坐标(2)直线,得. 的方程为,,

由得,

∵又,∴,,

,结合(1)得,

∴ ,

又点 ∴设则令由于 ∴当得时,到直线的距离 , ,

, (舍去),,,, 单调递增, 单调递减,

时,时,取得最大值,即的面积取得最大值,

故的面积的最大值为 .

点睛:圆锥曲线中的最值与范围问题是高考中的常考题型,常与不等式、函数等知识结合在一起,涉及的知识点较多、难度较大.解题时可先建立关于某个参数的目标函数,再求这个函数的最值,常用的方法有以下几个:

①利用已知参数的范围,求新参数的范围,解这类问题的关键是在两个参数之间建立等量关系; ②利用基本不等式求出参数的取值范围;

12第

③利用函数的值域的求法,确定参数的取值范围. 21. 设函数(1)当(2)当,时,讨论时,的单调性;

恒成立,求的取值范围.

. ,对进行求导,即可求出的单调性,然后求出,,单调递减,

的单调性;(2)令,即可求出的取值范围. ,

,对. 【答案】(Ⅰ)见解析(Ⅱ)【解析】试题分析;(1)根据求导后,对进行分类讨论,求出函数试题解析:(1)当由于当时,,故当, ,

时,,则恒成立, 时,不恒成立; ,由时,,则,得,则时,,∴当,则时,时,,,,,时,时,单调递增.

(2)令则∵当①若此时②若则令(ⅰ)若当而(ⅱ)若当当∴,

恒成立, , 或,

单调递减, 时,, 单调递减, 单调递增,

,此时恒成立;

,此时不恒成立;

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(ⅲ)若有综上所述,,当时,,此时.

,恒成立,

单调递增,

点睛:这个题目考查了导数在研究函数的单调性中的应用,在研究函数最值的应用;对于函数恒成立或者有解求参的问题,常用方法有:变量分离,参变分离,转化为函数最值问题;或者直接求函数最值,使得函数最值大于或者小于0;或者分离成两个函数,使得一个函数恒大于或小于另一个函数.

请考生在22、23两题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分.

22. 选修4-4:坐标系与参数方程 在平面直角坐标系极坐标方程为线于两点.

中,已知点,以原点为极点,轴的正半轴为极轴建

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