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空间向量及其运算复习练习题（含解析2015高考数学一轮） 空间向量及其运算复习练习题（含解析2015高考数学一轮） A组 基础演练 1．在下列命题中： ①若向量a，b共线，则向量a，b所在的直线平行；②若三个向量a，b，c两两共面，则向量a，b，c共面；③已知空间的三个向量a，b，c，则对于空间的任意一个向量p总存在实数x，y，z使得p＝xa＋yb＋zc. 其中正确命题的个数是 ( ) A．0 B．1 C．2 D．3 解析：a与b共线，a，b所在直线也可能重合，故①不正确；三个向量a，b，c中任两个一定共面，但它们三个却不一定共面，故②不正确；只有当a，b，c不共面时，空间任意一向量p才能表示为p＝xa＋yb＋xc，若三个向量共面，则不能表示空间任意向量，故③不正确，综上可知三个命题中正确的个数为0，故选A. 答案：A 2．如图所示，在平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，M为A1C1与B1D1的交点．若AB→＝a，AD→＝b，AA1→＝c，则下列向量中与BM→相等的向量是 ( ) A．－12a＋12b＋c B.12a＋12b＋c C．－12a－12b＋c D.12a－12b＋c 解析：BM→＝BB1→＋B1M→＝AA1→＋12(AD→－AB→) ＝c＋12(b－a)＝－12a＋12b＋c. 答案：A 3．如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E、F分别在A1D、AC上，且A1E＝23A1D，AF＝13AC，则 ( ) A．EF至多与A1D、AC之一垂直 B．EF与A1D、AC都垂直 C．EF与BD1相交 D．EF与BD1异面 解析：设AB＝1，以D为原点，DA所在直线为x轴，DC所在直线为y轴，DD1所在直线为z轴建立空间直角坐标系，则A1(1,0,1)，D(0,0,0)，A(1,0,0)，C(0,1,0)，E13，0，13，F23，13，0，B(1,1,0)，D1(0,0,1)， A1D→＝(－1,0，－1)，AC→＝(－1,1,0)， EF→＝13，13，－13，BD1→＝(－1，－1,1)， EF→＝－13BD1→，A1D→?EF→＝AC→?EF→＝0，从而EF∥BD1，EF⊥A1D，EF⊥AC. 答案：B 4．如图所示，已知PA⊥平面ABC，∠ABC＝120°，PA＝AB＝BC＝6，则PC等于 ( ) A．62 B．6 C．12 D．144 解析：因为PC→＝PA→＋AB→＋BC→， 所以PC→2＝PA→2＋AB→2＋BC→2＋2AB→?BC→ ＝36＋36＋36＋2×36cos 60°＝144. 所以|PC→|＝12. 答案：C 5．如图所示，PD垂直于正方形ABCD所在平面，AB＝2，E为PB的中点，cos〈DP→，AE→〉＝33，若以DA，DC，DP所在直线
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分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，则点E的坐标为________． 解析：设PD＝a(a＞0)，则A(2,0,0)，B(2,2,0)，P(0,0，a)，E1，1，a2. ∴DP→＝(0,0，a)，AE→＝－1，1，a2， ∵cos〈DP→，AE→〉＝33，∴a22＝a 2＋a24?33，∴a＝2. ∴E的坐标为(1,1,1)． 答案：(1,1,1) 6．在四面体O－ABC中，OA→＝a，OB→＝b，OC→＝c，D为BC的中点，E为AD的中点，则OE→＝________(用a，b，c表示)． 解析：OE→＝12OA→＋12OD→＝12OA→＋14OB→＋14OC→ ＝12a＋14b＋14c. 答案：12a＋14b＋14c 7．已知O是空间中任意一点，A，B，C，D四点满足任意三点不共线，但四点共面，且OA→＝2xBO→＋3yCO→＋4zDO→， 则2x＋3y＋4z＝________. 解析：∵A、B、C、D四点共面，∴OA→＝mOB→＋nOC→＋pOD→，且m＋n＋p＝1， 由已知得OA→＝－2xOB→－3yOC→－4zOD→， ∴(－2x)＋(－3y)＋(－4z)＝1， ∴2x＋3y＋4z＝－1. 答案：－1 8．如图，在四棱锥M―ABCD中，底面ABCD是边长为2的正方形，侧棱AM的长为3，且AM和AB、AD的夹角都是60°，N是CM的中点，设a＝AB→，b＝AD→，c＝AM→，试以a，b，c为基向量表示出向量BN→，并求BN的长． 解析：∵BN→＝BC→＋CN→＝AD→＋12CM→ ＝AD→＋12(AM→－AC→)＝AD→＋12[AM→－(AD→＋AB→)] ＝－12AB→＋12AD→＋12AM→， ∴BN→＝－12a＋12b＋12c， |BN→|2＝BN→2＝－12a＋12b＋12c2 ＝14(a2＋b2＋c2－2a?b－2a?c＋2b?c) ＝174， ∴|BN→|＝172，即BN的长为172. 答案：172 9．已知空间中三点A(－2,0,2)，B(－1,1,2)，C(－3,0,4)，设a＝AB→，b＝AC→. (1)求向量a与向量b的夹角的余弦值； (2)若ka＋b与ka－2b互相垂直，求实数k的值． 解：(1)∵a＝(1,1,0)，b＝(－1,0,2)， ∴a?b＝(1,1,0)?(－1,0,2)＝－1， 又|a|＝12＋12＋02＝2， |b|＝－
＋02＋22＝5， ∴cos〈a，b〉
＝a?b|a||b|＝－110＝－1010， 即向量a与向量b的夹角的余弦值为－1010. (2)法一：∵ka＋b＝(k－1，k,2)． ka－2b＝(k＋2，k，－4)，且ka＋b与ka－2b互相垂直， ∴(k－1，k,2)?(k＋2，k，－4)＝(k－1)(k＋2)＋k2－8＝0， ∴k＝2或k＝－52，∴当ka＋b与ka－2b互相垂直时，实数k的值为2或－52. 法二：由(2)知|a|＝2，|b|＝5，a?b＝－1， ∴(ka＋b)?(ka－2b)＝k2a2－ka?b－2b2＝2k2
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＋k－10＝0，得k＝2或k＝－52. B组 能力突破 1．已知A(9，－3,4)，B(9,2,1)两点，则与线段AB平行的坐标平面是 ( ) A．xOy B．xOz C．yOz D．xOy或yOz 解析：∵AB→＝(0,5，－3)， ∴线段AB平行于yOz平面． 答案：C 2．如图所示，已知空间四边形OABC，OB＝OC，且∠AOB＝∠AOC＝π3，则cos〈OA→，BC→〉的值为 ( ) A．0 B.12 C.32 D.22 解析：设OA→＝a，OB→＝b，OC→＝c， 由已知条件〈a，b〉＝〈a，c〉＝π3，且|b|＝|c|， OA→?BC→＝a?(c－b)＝a?c－a?b
＝12|a||c|＝－12|a||b|＝0， ∴cos〈OA→，BC→〉＝0. 答案：A 3．如图所示，已知二面角α－l－β的平面角为θθ∈0，π2，AB⊥BC，BC⊥CD，AB在平面β内，BC在l上，CD在平面α内，若AB＝BC＝CD＝1，则AD的长为________． 解析：AD→＝AB→＋BC→＋CD→， 所以AD→2＝AB→2＋BC→2＋CD→2＋2AB→?CD→＋2AB→?BC→＋2BC→?CD→＝1＋1＋1＋2cos(π－θ)＝3－2cos θ. 所以|AD→|＝3－2cos θ， 即AD的长为3－2cos θ. 答案：3－2cosθ 4．直三棱柱ABC―A′B′C′中，AC＝BC＝AA′，∠ACB＝90°，D、E分别为AB、BB′的中点． (1)求证：CE⊥A′D； (2)求异面直线CE与AC′所成角的余弦值． 解：(1)证明：设CA→＝a，CB→＝b，CC′→＝c， 根据题意，|a|＝|b|＝|c|，且a?b＝b?c＝c?a＝0， ∴CE→＝b＋12c，A′D→＝－c＋12b－12a. ∴CE→?A′D→＝－12c2＋12b2＝0. ∴CE→⊥A′D→，即CE⊥A′D. (2)解：∵AC′→＝－a＋c， |AC′→|＝2|a|，|CE→|＝52|a|. AC′→?CE→＝(－a＋c)?b＋12c ＝12c2＝12|a|2， ∴cos〈AC′→，CE→〉＝12|a|22?52|a|2＝1010. 即异面直线CE与AC′所成角的余弦值为1010.