2013年秋季学期计算机科学与技术专业《高等代数》复习提纲与补充题

高等代数

2 0 1 3 年 秋 季 学 期 计 算 机 科 学 与 技 术 专 业 高 等 代 数 学 习 指 导

学习指导

高等代数的课件(2012年录制的课件),重点阐述了教材(《高等代数教程》上册第一章至第四章)的主要内容,重点突出地讲述了高等代数的基本概念,重要定理和计算方法,详细讲述了一些重要例题与习题的解法。因此,认真学好课件,并认真完成本学期作业中每章的习题,是学好高等代数的关键。这样,才能真正学懂和掌握高等代数的基础知识和解题方法。

学习方法

高等代数是数学基础课,高等代数中讲述的行列式,矩阵,线性代数方程组,线性方程组的解及其结构,特征值与特征向量等重要概念和相关计算方法,是学习计算机专业其它课程必备的数学基础,是解决具体工程实践问题时最常用,最基本的数学工具。 特别是近几十年来,由于计算机和计算方法的迅速发展和普遍应用,使得高等代数在科学技术领域获得了日益广泛的应用,使得高等代数成为许多学科的必备数学基础。

学习高等代数时,要求做到:

1. 理解与掌握基本概念,重要定理。 2. 学会各类问题的计算方法。

3. 认真完成各章节的作业,从而掌握计算步骤和计算方法,加深对基本概念和重要定理的理解与掌握。

4. 学完每一节后,认真完成本节作业。对于计算题,一定要写出全部运算过程; 对于证明题,一定要写出全部证明步骤。不要抄别人的结果, 只有经过自己的思考和运算,才能真正学懂和理解所学的概念和定理,才能真正掌握所学的计算方法,从而提高分析问题和解决问题的能力.

5. 不要复制上几届的习题解答。作业必须自己独立完成。学习高等代数一定要自己认真完成作业,不认真做题,是不能学好高等代数课的。

6. 结合作业,复习所学知识,发现并解决学习中的问题,从而加深对所学概念、定理及方法的理解与掌握, 使高等代数成为解决进一步学习和工作中所遇到的

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高等代数

数学问题的有力工具。

7. 完成作业时,若有困难,可参阅《王颖坚:高等代数教程(上册)第一至第五章习题解(节选)》。这本资料,请向各教学中心领取。

知 识 点

第一章 行 列 式

1. 2阶与3阶行列式的计算 ,这是简单,常用的计算方法。但是要注意,绝不能把2阶与3阶行列式的计算方法用于4阶及更高阶行列式的计算。 2. n阶行列式的定义:

a11

a12a22??a1n?a2n? ?(j1j2?jn)a21an1?(?1)?(j1j2?jn)a1j1a2j2?anjn (1)

an2?ann(i1i2?in) =

?(i1i2?in)(?1)ai11ai22?ainn (2) ?

n阶行列式是所有取自不同行不同列的n个元素乘积

a1j1a2j2?anjn

的代数和,这种代数和共有 n! 项,当每项各元素的行标按自然序排列时,每项 前的正负号取决于各元素列标排列的奇偶性(见(1)式); 当每项各元素的列标 按自然序排列时,每项前的正负号取决于各元素行标排列的奇偶性(见(2)式). 3. 行列式的性质(六条性质): ① 行列互换,行列式的值不变。

② 行列式中某一行(列)的公因子可以提出来。

③ 若行列式中某一行(列)是两组数的和,则这个行列式的值,等于两个行

列式的和,后两个行列式分别以这两组数为这一行(列)的元素。 ④对换行列式的两行(列),行列式变号。

⑤若行列式中有两行(列)成比例,则行列式等于零。 ⑥把某一行(列)的倍数加到另一行(列),行列式的值不变。 这是必须理解并熟练掌握的重要性质.

N阶行列式的计算 ,完全依据熟练正确地运用行列式的六条性质。但是有人不能正确运用行列式的性质,例如,第六条性质:将第p行的k倍,加到第q行,行列式的值不变。有人却把第q行乘以k,再把第p行加到第q行。这是错误的,

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高等代数

这样的运算,行列式不等值。 4. 行列式对一行(列)的展开

?D ,当k?i时 aA???ksiss?1?o , 当k?i时n?D ,当??j时 aA???sesjs?1?o , 当??j时n 能正确、熟练运用行列式的六条性质及行列式对一行(列)的展开,是掌握行列式计算技巧的基础。

5.学会§1.6 的算例中给出的行列式计算中常用的技巧,要掌握和熟练运用这些

技巧与方法。 特别是例6 :

a11?a1k?ak1?akkc11?c1k?cl1?clk0??0a11?a1kb11?b1l0?0 = ????

b11?b1lak1?akkbl1?bll?bl1?bll这是可直接用于计算的重要结果。

第二章 线性方程组

§1 克莱姆法则

当方程个数等于未知量个数(均为n)时,若系数行列式 D?o ,则方程组有唯一解:

Xi?Di (i=1,2,…n) D其中 Di是把系数行列式 D 的第 i 列 用方程组的常数项替换,得到的行列式。 §2 消元法

对于线性代数方程组,写出其增广矩阵A,对A进行初等行变换,化成阶梯

初等行变换?阶梯形矩阵,得到同解的阶梯形方程组,由此得出方程组形矩阵:A????的解。(注意: 这里对于增广矩阵A,只进行初等行变换。) §4、§5 n维向量空间、线性相关性 1、单个向量?线性相关? ??o 单个向量?线性无关? ??o

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