乌鲁木齐地区2019年高三年级第一次诊断性测验
理科数学（问卷）
（卷面分值：150分 考试时间：120分钟）
注意事项：
1.本卷分为问卷和答卷，答案务必书写在答卷（或答题卡）的指定位置上. 2.答卷前，先将答卷密封线内（或答题卡中的相关信息）的项目填写清楚.
第Ⅰ卷（选择题 共60分）
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.已知集合M ? { x |0 < x < 2 }, N ? { x | x > 1 }，则M∩N ?
A. [ 1, 2) B. ( 1, 2 ) C. [ 0, 1 ) D. ( 0, 1]
2i2.复数?
1?i A. 1 ? i B. ? 1 ? i C. ? 1 ? i D. 1 ? i 3.设α，β，γ为平面，m, n为直线，则m⊥β的一个充分条件是 A. α⊥β, α∩β ? n, m⊥n B. α∩γ ? m, α⊥γ, β⊥γ C. α⊥γ , β⊥γ, m⊥α D. n⊥α, n⊥β, m⊥α 4.等差数列{an}中，a3 ? 5, S6 ? 36，则S9 ?
A. 17 B. 19 C. 81 D. 100
ππ
5.若函数f (x) ? cos2x ? a sinx在区间( , )上是减函数，则a的取值范围是
62
A. ( 2, 4 ) B. ( ??∞, 2 ] C. ( ? ∞, 4] D. [ 4, ? ∞ )
11
6.一个四面体的顶点在空间直角坐标系O ? xyz中的坐标分别是( 1, 0, 2 ), ( 1, 1, 0 ), ( 0, 2, 1 ), ( 1, 0, 1 )，画该四面体三视图中的正视图时，以yOz平面为投影面，则得到的正视图可以为
A
B
C
开始 输入a, q, n D.
7.执行如图的程序框图( n∈N* )，则输出的S ? A. a ? aq ? aq ? …… ? aq
2
n ? 1
a(1?qn) B.
1?qn
i ? 0 S ? 0 C. a ? aq ? aq ? …… ? aq
2n ? 1
a(1?qn?1) ? aq D.
1?qi ? i ? 1 a ? aq S ? S ? a i ≤ n ? 否 输出S 结束 是 8.凸四边形OABC中，OB?(2,4),AC?(?2,1)，则该四边形的面积为 A. 5 B. 25 C. 5 D. 10
9.过抛物线焦点F的直线，交抛物线于AB两点，交准线于C点，若AF?2FB,CF??FB，则λ ?
A. ? 4 B. ? 3 C. ? 2 D. ? 1 10.设f (x) ? |ln( x ? 1 )|，已知f (a) ? f (b) ( a < b )，则
A. a ? b > 0 B. a ? b > 1 C. 2a ? b > 0 D. 2a ? b > 1
x2y211.P是双曲线2?2?1(a?0,b?0)上的一点，F1，F2是焦点，PF1与渐近线平行，∠F1PF2 ?
ab90°，则双曲线的离心率为
A. 2 B. 3 C. 2 D. 5
12.设函数f (x) 在R上存在导函数f ′(x)，对任意x∈R , 都有f (x) ? f ( ? x ) ? x2，且x∈( 0, ? ∞)
时，f ′(x) > x，若f ( 2 ? a ) ? f ( a ) ≥ 2 ? 2a，则实数a的取值范围是
A.[ 1, ? ∞ ) B. ( ? ∞, 1 ] C. ( ? ∞, 2] D. [ 2, ? ∞ )
第Ⅱ卷 （非选择题 共90分）
本卷包括必考题和选考题两部分. 第13题 ~ 第21题为必考题，每个试题考生都必须作答. 第22题 ~ 第24题为选考题，考生根据要求作答. 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分
a??13.若?x?2?的二项展开式中的常数项是84, 则实数a = × ；
x????x ≥1
14.已知实数x , y 满足约束条件?x ? y ≤3 ，则z ? 2x ? y 的最小值为 × ；
??x?? 2y ??3 ≤0
15.掷两枚骰子，则向上的点数之和小于6的概率为 × ；
1216.设数列{ an }的各项均为正数，其前n项和Sn满足Sn ? (an?3an?4)，则an ? × .
6
三、解答题：第17 ~ 21题每题12分，解答应在答卷的相应各题中写出文字说明，证明过程或演算步骤.
ππ
17.已知函数f (x) ? sin( 2x ? 3 ) ? cos( 2x ? 6 ) ? 3cos2x ( x∈R ). （Ⅰ）求f (x)的单调递增区间；
（Ⅱ）在△ABC中，B为锐角，且f (B) ? 3，AC ? 3，求△ABC周长的最大值.
918.如图，直三棱柱ABC?A1B1C1中，AB⊥AC，E，F分别是BB1，A1C1的中点. （Ⅰ）求证EF∥平面A1BC；
A1 F （Ⅱ）若AB ? AC ? AA1? 1，求二面角A1 ??BC ??F的平面角的余弦值. C1
B1
E C
A
B
??1.6t ， 0 ≤t < 2
19.某城市居民生活用水收费标准为W(t) ? ?2.7t ， 2 ≤t < 3.5 （ t为用水量，单位：吨；
??4.0t ， 3.5 ≤t ≤4.5
W为水费，单位：元 ），从该市抽取的100户居民的月用水量的频率分布直方图如图所示.
频率/组距
0.50
0.44 0.30 0.28
0.16 0.12
0.08 0.04
O 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 月均用水量/t
（Ⅰ）求这100户居民的月均用水量的中位数及平均水费；
（Ⅱ）连续10个月，每月从这100户中随机抽取一户，若抽到的用户当月所交水费少于9.45元，则对其予以奖励.设X为获奖户数，求X的数学期望.
2x2y220.已知椭圆2?2?1(a?b?0)的离心率为2，过焦点F的直线与椭圆交于A，B两点，线
ab21
段AB的中点为M ( ? 3, 3 ) .
（Ⅰ）求椭圆方程；
（Ⅱ）过点A与椭圆只有一个公共点的直线为l1，过点F与AF垂直的直线为l2，求证l1与
l2的交点在定直线上.