卡尔曼滤波算法及其在组合导航中的应用综述
摘要:由于描述系统特性的数学模型和噪声的统计模型不准确,不能真实反映物理过程,使模型与获得的观测值不匹配从而会导致滤波器发散。文章在描述组合导航基本特性和卡尔曼滤波原理的基础上提出了滤波发散的问题并提出了抑制发散的方法,最后介绍了卡尔曼滤波在组合导航中的应用。
关键词:卡尔曼滤波;组合导航;发散
随着计算机技术的迅速发展,它有条件提供运算速度高、存贮量大的机载计算机,这为组合导航系统的发展创造了一个很好的技术条件,现代控制理论中最优估计理论的数据处理方法为组合导航系统提供了理论基础。Kalman滤波是R.E.Kalman于1960年提出的从众多与被提取信号有关的观测量中通过算法估计出所需信号的一种滤波算法。他把状态空间的概念引入到随机估计理论中,把信号过程视为白噪声作用下的一个线性系统的输出,用状态方程来描述这种输入-输出关系,估计过程中利用系统状态方程、观测方程、系统噪声和观测噪声的统计特性形成滤波算法。
1组合导航系统基本特性描述
要描述一个实际系统,首先要对其进行建模,即建立系统的状态方程和测量方程。对于组合导航系统,要进行滤波计算必须建立数学模型,此模型具有以下特点。
1.1非线性
组合导航系统本质上是非线性系统,有时为了减少计算量及提高系统实时性,在某些假设条件下组合导航系统的非线性因素可以忽略,其可以用线性化的数学模型来近似描述。但当假设条件不满足时,组合导航系统就必须采用能反映自身实际特性的非线性模型来描述。所以说,非线性是组合导航系统本质的特性。
1.2模型不确定性
组合导航系统处于实际运行环境当中时,受系统本身以及外部应用环境不确定性因素的影响,系统实际模型与建立的理论模型不能完全匹配,即组合导航系统具有模型不确定性。造成系统模型不确定性的主要原因如下:
①模型简化。采用较少的状态变量来描述系统,忽略掉实际系统某些不重要的状态特征。由此造成模型与实际不匹配。②系统噪声统计不准确。所建模型的噪声统计特性与实际系统噪声统计特性有较大差异。③对实际系统初始状态的统计特性建模不准确。④实际系统出现器件老化、损坏等使系统参数发生了变动,造成模型与实际系统不匹配。
卡尔曼滤波要求系统数学模型必须为线性,当组合导航系统模型具有非线性特性时,仍然采用线性模型描述组合导航系统及使用卡尔曼滤波进行滤波,将会导致滤波发散。
2卡尔曼滤波算法及其发散抑制方法
2.1 Kalman滤波算法
设随线性离散系统的方程为:
Xk=φk,k-1Xk-1+Lk,k-1Wk-1(1)
Zk=HkXk+Vk(2)
式中,Xk是系统状态向量,φk,k-1是系统的状态转移矩阵,Lk,k-1是系统过程噪声输入矩阵,Wk是系统过程噪声向量,Zk是系统的观测向量,Hk是观测矩阵,Vk是系统观测噪声向量。其中,Qk是系统过程噪声向量的Wk对称非负定方差矩阵,Rk是系统观测噪声向量Vk的对称正定方差矩阵,δkj是kronecker-δ函数。
常规卡尔曼滤波方法可描述如下:
状态一步预测:Xk,k-1=φk,k-1Xk-1 (3)
状态估计:Xk=Xk,k-1+Kk[Zk-HkXk,k-1](4)
一步预测误差方差阵:Pk,k-1=φk,k-1Pk-1φTk,k-1+Γk,k-1Qk-1ΓTk,k-1(5)
估计误差方差阵:Pk=[I-KkHk]Pk,k-1(6)
滤波增益:Kk=(7)
在一个滤波周期内,Kalman滤波具有时间更新和观测更新两个过程,式3和式6将时间从k-1时刻推进至k时刻,其余的式子用来计算对时间更新值的修正量。只要给定初值Xo和Po,根据k时刻的观测值Zk,就可以递推计算机的k时刻的观测值Zk,就可以递推计算机的k时刻的状态估计Xk(k=1,2,…)。
2.2卡尔曼滤波发散的抑制方法
当滤波模型不准确时通过加大新量测值的加权系数,相对减小过去量测值对滤波的影响来抑制滤波发散。常用的方法有以下两种。
2.2.1衰减记忆滤波
当系统模型不准确时,新量测值对估计值的修正作用下降,过去量测值的修正
作用相对上升引发滤波发散。因此通过逐渐减小过去量测值的权值,相应增大新量测值的权值来抑制滤波发散。
取卡尔曼滤波的最优增益矩阵公式中k=N,则KN =PNHTkR-1k。
为抑制滤波发散,应相对地突出KN,而逐渐减小时刻N以前的Kk值。这样要减小Zi(i1,所以衰减记忆滤波中Pk,k-1、Kk都大于常规卡尔曼中的对应值,这就意味着采用衰减记忆卡尔曼滤波方程时,对新量测值的利用权重比常规卡尔曼进行滤波时的利用权重大,滤波发散从一定程度得到抑制。
2.2.2限定记忆滤波
由Xk=E[Xk|Z1Z2…Zk]可知,卡尔曼滤波基本方程对观测数据的记忆是无限增长的,即计算Xk是要用已有的全部观测值。而采用限定记忆滤波估计时,只是用离k时刻最近的N个测量值Zk-N+1,Zk-N+2,…,Zk而完全截断K-N+1时刻以前的旧量测值对滤波值的影响。
3卡尔曼滤波在组合导航中的应用
卡尔曼滤波器是一种线性最小方差估计。其最优估计准则是使估计值的方差最小。估计值是观测值的线性函数,并且当系统的过程噪声为白噪声时,它是无偏估计。采用卡尔曼滤波技术将两个或两个以上系统的信息融合在一起,估计出系统的各种参数。
3.1集中式Kalman滤波
集中式Kalman滤波是利用一个滤波器来集中处理所有子系统的信息。在理论上,集中式Kalman滤波可以给出误差状态的最优估计,但存在以下缺点:
①集中式Kalman滤波的状态维数高,计算量以滤波器维数的三次方递增,不能保证滤波器的实时性。
②子系统的增加使系统故障率随之增加,只要其中一个子系统失效,整个系统会被污染,因此,集中式Kalman滤波器的容错性能差,不利于故障诊断。
3.2分布式Kalman滤波
分布式Kalman滤波就是各个子系统首先通过局部Kalman滤波器处理各自的测量信息以产生局部状态估计,局部状态估计结果再传递给融合中心,通过全局滤波器进行信息分析与综合,产生最优滤波结果。分布式滤波具有计算简单,结构灵活和容错性强等性能。
联邦Kalman滤波理论是一种特殊形式的分布式Kalman滤波方法。联邦卡尔曼滤波由若干个子滤波器和一个主滤波器组成,其特殊性在于联邦滤波器采用