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专题八 数学思想方法 第1讲 函数与方程思想、数形结合思想练习
理
一、选择题
1.直线3x-y+m=0与圆x+y-2x-2=0相切,则实数m等于( ) A.3或-3 C.-33或3
2
22
2
B.-3或33 D.-33或33
|3+m|3+1
=3?|3
解析 圆的方程(x-1)+y=3,圆心(1,0)到直线的距离等于半径?+m|=23?m=3或m=-33. 答案 C
2.已知函数f(x)满足下面关系:①f(x+1)=f(x-1);②当x∈[-1,1]时,f(x)=x,则方程f(x)=lg x解的个数是( ) A.5 C.9
B.7 D.10
2
解析 由题意可知,f(x)是以2为周期,值域为[0,1]的函数. 又f(x)=lg x,则x∈(0,10],画出两函数图象, 则交点个数即为解的个数. 由图象可知共9个交点.
答案 C
3.函数f(x)的定义域为R,f(-1)=2,对任意x∈R,f′(x)>2,则f(x)>2x+4的解集为( ) A.(-1,1) C.(-∞,-1)
B.(-1,+∞) D.(-∞,+∞)
解析 f′(x)>2转化为f′(x)-2>0,构造函数F(x)=f(x)-2x, 得F(x)在R上是增函数.
又F(-1)=f(-1)-2×(-1)=4,f(x)>2x+4, 即F(x)>4=F(-1),所以x>-1. 答案 B
4.已知a,b是平面内两个互相垂直的单位向量,若向量c满足(a-c)·(b-c)=0,则|c|小初高教育精品资料
小初高教育精品资料 的最大值是( ) A.2 C.3
B.22 D.2
→→→→→→
解析 如图,设OA=a,OB=b,OC=c,则CA=a-c,CB=b-c.由题意知CA→⊥CB,
∴O,A,C,B四点共圆.
→
∴当OC为圆的直径时,|c|最大,此时,|OC|=2. 答案 A
1x5.当0<x≤时,4<logax,则a的取值范围是( )
2A.?0,
??2?? 2?
B.?
?2?
,1? ?2?
C.(1,2) D.(2,2)
解析 利用指数函数和对数函数的性质及图象求解. 1xx∵0<x≤,∴1<4≤2,∴logax>4>1,
2∴0<a<1,排除答案C,D;
11111
取a=,x=,则有4=2,log=1,
22222显然4<logax不成立,排除答案A;故选B. 答案 B 二、填空题
6.(2015·全国Ⅱ卷改编)已知A,B为双曲线E的左,右顶点,点M在E上,△ABM为等腰三角形,且顶角为120°,则E的离心率为________.
xx2y2
解析 如图,设双曲线E的方程为2-2=1(a>0,b>0),则|AB|=
ab2a,由双曲线的对称性,可设点M(x1,y1)在第一象限内,过M作MN⊥x轴于点N(x1,0),
∵△ABM为等腰三角形,且∠ABM=120°, ∴|BM|=|AB|=2a,∠MBN=60°,
∴y1=|MN|=|BM|sin∠MBN=2asin 60°=3a,x1=|OB|+|BN|=a+2acos 60°=2a.
x2y2c22
将点M(x1,y1)的坐标代入2-2=1,可得a=b,∴e==aba答案
2
a2+b2=2. a2
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7.已知e1,e2是平面内两个相互垂直的单位向量,若向量b满足|b|=2,b·e1=1,b·e2=1,则对于任意x,y∈R,|b-(xe1+ye2)|的最小值为________.
解析 |b-(xe1+ye2)|=b+xe1+ye2-2xb·e1-2yb·e2+2xye1·e2=4+x+y-2x-2y=(x-1)+(y-1)+2≥2,
当且仅当x=1,y=1时,|b-(xe1+ye2)|取得最小值2,此时|b-(xe1+ye2)|取得最小值2. 答案
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
22
22
2
2
8.设直线l与抛物线y=4x相交于A,B两点,与圆C:(x-5)+y=r(r>0)相切于点M,且M为线段AB的中点.若这样的直线l恰有4条,则r的取值范围是________. 解析 设直线l的方程为x=ty+m,A(x1,y1),B(x2,y2), 把直线l的方程代入抛物线方程y=4x并整理得y-4ty-4m=0,
则Δ=16t+16m>0,y1+y2=4t,y1y2=-4m,那么x1+x2=(ty1+m)+(ty2+m)=4t+2m,则线段AB的中点M(2t+m,2t).
由题意可得直线AB与直线MC垂直,且C(5,0). 当t≠0时,有kMC·kAB=-1,
2t-012
即2·=-1,整理得m=3-2t, 2t+m-5t把m=3-2t代入Δ=16t+16m>0, 可得3-t>0,即0<t<3.
由于圆心C到直线AB的距离等于半径, 即d=
所以2<r<4,此时满足题意且不垂直于x轴的直线有两条. 当t=0时,这样的直线l恰有2条,即x=5±r,所以0<r<5. 综上,可得若这样的直线恰有4条,则2<r<4. 答案 (2,4) 三、解答题
9.已知数列{an}是一个等差数列,且a2=1,a5=-5. (1)求{an}的通项an;
(2)求{an}前n项和Sn的最大值.
|5-m|1+t22
2
2
22
2
2
2
2
=2+2t22
1+t=21+t=r,
2
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