女同学20名. 为了对这门课程的教学效果进行评估，学校按性别采用分层抽样的方法抽取5人进行考核.
（Ⅰ）求抽取的5人中男、女同学的人数；
（Ⅱ）考核的第一轮是答辩，顺序由已抽取的甲、乙等5位同学按抽签方式决定. 设甲、乙两位同学间隔的人数为X，X的分布列为
求数学期望EX；
（Ⅲ）考核的第二轮是笔试：5位同学的笔试成绩分别为115，122，105， 111，109；结合第一轮的答辩情况，他们的考核成绩分别为125，132，115， 121，119. 这5位同学笔试成
2222绩与考核成绩的方差分别记为s1，s2，试比较s1与s2的大小. （只需写出结论）
答案：（Ⅰ）男同学的人数为3，女同学的人数为2（Ⅱ）1（Ⅲ）s1?s2. 解析：（Ⅰ）抽取的5人中男同学的人数为
2255?30?3，女同学的人数为?20?2. 5050 ??????4分
23A2A31?. ??????6分 （Ⅱ）由题意可得：P(X?3)?5A510 因为 a?b? 所以 b?32??1， 1051. ??????8分 5 所以 EX?3?1132?2??1??0??1. ??????10分 10510522（Ⅲ）s1?s2. ??????13分
（17）（本小题满分14分）
如图所示，在三棱柱ABC?A1B1C1中，AA1C1C为菱形，?BB1B1B为正方形，BB1C1=60，平面AA1C1C. 1B1B?平面BB（Ⅰ）求证：B1C?AC1；
（Ⅱ）设点E,F分别是B1C,AA1的中点，试判断直线EF与平面ABC的位置关系，并说明理由；
（Ⅲ）求二面角B?AC1?C的余弦值.
第 11 页 共 19 页
CC1E
BAFA1B1
答案：（Ⅰ）略（Ⅱ）（Ⅲ）EF∥平面ABC（Ⅲ）解析：（Ⅰ）连接BC1.
在正方形ABB1A1. 1中，AB^BBCC17 7因为 平面AA1C1C，平面AA1B1B?平面BB1B1BBAA1B1平面
BB1C1C?BB1，ABì平面ABB1A1，
所以 AB^平面BB1C1C. ??????1分 因为 B1Cì平面BB1C1C， 所以 AB^B1C. ??????2分 在菱形BB1C1C中，BC1^B1C.
因为 BC1ì平面ABC1，ABì平面ABC1，BC1AB=B，
所以 B1C^平面ABC1. ??????4分 因为 AC1ì平面ABC1，
所以 B1C?AC1. ??????5分
第 12 页 共 19 页
（Ⅱ）EF∥平面ABC，理由如下： ??????6分 取BC的中点G，连接GE,GA.
CC1GE
BAFA1B1因为 E是BC1的中点， 所以 GE∥BB1，且GE=因为 F是AA1的中点， 所以 AF=1BB1. 21AA1. 2在正方形ABB1A1中，AA1∥BB1，AA1=BB1.
所以 GE∥AF，且GE=AF. 所以 四边形GEFA为平行四边形.
所以 EF∥GA. ??????8分 因为 EF?平面ABC，GAì平面ABC，
所以 EF∥平面ABC. ??????9分 （Ⅲ）在平面BB1C1C内过点B作Bz^BB1.
由（Ⅰ）可知：AB^平面BB1C1C. 以点B为坐标原点，分别以BA,BB1所在的直线为x,y轴，建立如图所示的空间直角坐标系B?xyz，设A(2,0,0)，则B1(0,2,0). 在菱形BB1C1C中，?BB1C1=60，所以 C(0,?1,3)，C1(0,1,3).
第 13 页 共 19 页
zCC1E
BAxFA1B1y设平面ACC1的一个法向量为n?(x,y,1).
??(x,y,1)?(?2,?1,3)?0,?n?AC?0,? 因为 ?即???(x,y,1)?(0,2,0)?0,?n?CC1?0??3,?x?3所以 ?2即n?(,0,1). ??????11分
2?y?0,?由（Ⅰ）可知：CB1是平面ABC1的一个法向量. ??????12分
所以 cos?n,CB1??n?CB1n?CB1(?3,0,1)?(0,3,?3)72??. 73?1?9?347. ??????14分 7所以 二面角B?AC1?C的余弦值为
（18）（本小题满分13分）
x2y2已知椭圆M:??1，点F1，C分别是椭圆M的左焦点、左顶点，过点F1的直线l（不
43与x轴重合）交M于A,B两点.
（Ⅰ）求M的离心率及短轴长；
（Ⅱ）是否存在直线l，使得点B在以线段AC为直径的圆上，若存在，求出直线l的方程；若不存在，说明理由. 答案：（Ⅰ）离心率为上
第 14 页 共 19 页
1短轴长为23（Ⅱ）不存在直线l，使得点B在以AC为直径的圆2
x2y2解析： （Ⅰ）由??1得：a?2,b?3.
43所以 椭圆M的短轴长为23. ??????2分 因为 c?a2?b2?1， 所以 e?
22x0y0（Ⅱ）由题意知：C(?2,0),F1(?1,0)，设B(x0,y0)(?2?x0?2)，则??1. 7分
43c11?，即M的离心率为. ??????4分 a22 因为 BF1?BC?(?1?x0,?y0)?(?2?x0,?y0)22 ?2?3x0?x0 ??????9分 ?y0 ?12x0?3x0?5?0， ????11分 4所以 ?B?(0,).
所以 点B不在以AC为直径的圆上，即：不存在直线l，使得点B在以AC为直径的圆上. ??????13分
另解：由题意可设直线l的方程为x?my?1，A(x1,y1),B(x2,y2).
π2?x2y2?1,??由?4可得：(3m2?4)y2?6my?9?0. 3?x?my?1?所以 y1?y2?6m?9yy?. ??????7分 ，12223m?43m?4所以 CA?CB?(x1?2,y1)?(x2?2,y2)
?(m?1)y1y2?m(y1?y2)?1 ?(m?1)22?96m?m??1 223m?43m?4第 15 页 共 19 页