数学建模与数学实验 实验报告
班级 : 数学师范153 姓名 ：付爽
学号 ：1502012060 实验名称 : 数列极限与函数极限
基础实验
基础实验一 数列极限与函数极限 第一部分 实验指导书解读
一、实验目的
从刘徽的割圆术、裴波那奇数列研究数列的收敛性并抽象出极限的定义；理解数列收敛的准则；理解函数极限与数列极限的关系。 二、实验使用软件 Mathematic 5.0
三．实验的基本理论即方法 1割圆术
中国古代数学家刘徽在《九章算术注》方田章圆田术中创造了割圆术计算圆周率?。刘徽先注意到圆内接正多边形的面积小于圆面积；其次，当将边数屡次加倍时，正多边形的面积增大，边数愈大则正多边形面积愈近于圆的面积。
“割之弥细，所失弥少。割之又割以至不可割，则与圆合体而无所失矣。”这几句话明确地表明了刘徽的极限思想。
以S表示单位圆的圆内接正3?2多边形面积，则其极限
n?1n为圆周率?。用下列Mathematica程序可以从量和形两个角
度考察数列{S}的收敛情况：
n m=2;n=15;k=10;
For[i=2,i<=n,i++, l[i_]:=N[2*Sin[Pi/(3*2^i)],k]; (圆内接正3?2多边形边长)
n?1 s[i_]:=N[3*2^(i-1)*l[i]*Sqrt[1-(l[i])^2/4],k]; (圆内接正3?2多边形面积)
n?1 r[i_]:=Pi-s[i]; d[i_]:=s[i]-s[i-1]; Print[i,\ ]
t=Table[{i,s[i]},{i,m,n}] (数组)
ListPlot[t] (散点图) 2裴波那奇数列和黄金分割 由F?0;0F1?1;Fn?Fn?1?Fn?2n?1有著名的裴波那奇数列{F}。
nn如果令R?Fn?1Fn，由F递推公式可得出
?1?5??，Fn?1[???25??n?1Fn11Rn???Fn?Fn?11?Fn?1/Fn1?Rn?1?1?5??]； ???2???n?1limRn?limn??n??Fn?Fn?15?12。
用下列Mathematica程序可以从量和形两个角度考察数列{R}的收敛情况：
nn=14,k=10;
For[i=3,i<=n,i++,t1=(Sqrt[5]+1)/2;t2=(1-Sqrt[5])/2;
f[i_]:=N[(t1^(i+1)-t2^(i+1))/Sqrt[5],k]; (定义裴波那奇数列通项)
rn=(5^(1/2)-1)/2-f[i-1]/f[i];Rn=f[i-1]/f[i];dn=f[i-1]/f[i]-f[i-2]/f[i-1];
Print[i,\]
t=Table[{i,f[i-1]/f[i]},{i,3,n}] ListPlot[t] 3收敛与发散的数列
数列{?in?1i?p}当p?1时收敛，p?1时发散；数列{sinn}发散。 4函数极限与数列极限的关系
用Mathematica程序
m=0;r=10^m;x0=0; f[x_]=x*Sin[1/x] Plot[f[x],{x,-r,r}] Limit[f[x],x->x0]
观察的f(x)?xsinx图象可以发现，函数在x?0点处不连续，且
?1函数值不存在，但在x?0点处有极限。 令x?an?1/n,n?1,2,?,100，作函数的取值表，画散点图看其子
列的趋向情况
k=10;p=25; a[n_]=1/n;
tf=Table[{n,N[f[a[n]],k]},{n,1,p}]
ListPlot[tf]
Limit[f[a[n]],n→Infinity,Direction→1] 分别取不同的数列a(要求ann?0)，重做上述过程，并将各
次所得图形的分析结果比较，可知各子列的极限值均为上述函数的极限值。
对于g(x)?sinx，类似地考察在x?0点处的极限。
?1三、实验准备
认真阅读实验目的与实验材料后要正确地解读实验，在此基础上制定实验计划（修改、补充或编写程序，提出实验思路，明确实验步骤），为上机实验做好准备。 四、实验思路提示 3.1考察数列敛散性
改变或增大n，观察更多的项（量、形），例如，n分别取50，100，200，…；扩展有效数字k，观察随n增大数列的变化趋势，例如，k分别取20，30，50；或固定50；或随n增大而适当增加。对实验要思考，例如，定义中的指标与柯西准则中的指标间的差异；数列收敛方式；又例如，如何估计极限近似值的误差。
3.2考察函数极限与数列极限的关系
改变函数及极限类型，例如，考虑六种函数极限，既选取极限存在也选取极限不存在的例子；改变数列，改变参数观察更多的量，考察形的变化趋势；扩展有效数字k，提高