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实验3 常微分方程数值解
【实验目的】
1．掌握用MATLAB求微分方程初值问题数值解的方法； 2．通过实例学习微分方程模型解决简化的实际问题； 3．了解欧拉方法和龙格库塔方法的基本思想。
【实验内容】
用欧拉方法和龙格库塔方法求下列微分方程初值问题的数值解，画出解的图形，对结果进行分析比较
?y'?y?2x,(1)?(0?x?1),精确解y?3ex?2x?2;?y(0)?1
22?y'?x?y,(2)?(0?x?10).?y(0)?0或y(0)?1
【解】:手工分析怎样求解
【计算机求解】:怎样设计程序？流程图？变量说明？能否将某算法设计成具有形式参数的函数
形式？
【程序如下】:
function f=f(x,y) f=y+2*x;
clc;clear;
a=0;b=1; %求解区间
[x1,y_r]=ode45('f',[a b],1); %调用龙格库塔求解函数求解数值解； %% 以下利用Euler方法求解 y(1)=1;N=100;h=(b-a)/N; x=a:h:b; for i=1:N
y(i+1)=y(i)+h*f(x(i),y(i)); end
figure(1)
plot(x1,y_r,'r*',x,y,'b+',x,3*exp(x)-2*x-2,'k-');%数值解与真解图 title('数值解与真解图');
legend('RK4','Euler','真解'); xlabel('x');ylabel('y'); figure(2)
plot(x1,abs(y_r-(3*exp(x1)-2*x1-2)),'k-');%龙格库塔方法的误差 title('龙格库塔方法的误差') xlabel('x');ylabel('Error'); figure(3)
plot(x,abs(y-(3*exp(x)-2*x-2)),'r-')%Euler方法的误差 title('Euler方法的误差') xlabel('x');ylabel('Error');
【运行结果如下】：
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【结果分析】：龙格库塔方法和Euler方法求解常微分方程都能获得比较好的数值解，相比较而言龙格库塔方法的数值解的精度远远要比Euler方法的数值解的精度高。
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