耦合点元素可以通过Guo（1983）的点转移矩阵来描述，其被表示如下：
其中
和
被称为之间的刚度矩阵辊。
3.2 轴承座装配
在操作侧的轧辊轴承座组件被作为一个例子。上轧辊和下轧辊轴承座可被简化为刚体通道Ch和Ch′，分别与图3所示。上部和下部轴承座的运动方程 可表示如下：
其中和是广义质量矩阵，是力系数矩阵。
有关上，下轴承座，力量的点1-4每个点可以通过各点的位移来表示方柱和杆的传递矩阵。据刚性体的力学，点的移位的理论1-4可转化为质心O的位移轮挡。然后上，下轴承座之间的刚度矩阵在本地坐标系统，可以通过公式（6）获得和根据两辊之间的刚度矩阵的坐标系可以通过坐标变换矩阵来获得制度。类似地，在球形的辊之间的刚度矩阵在驱动侧的坐标系可以和获得。 耦合元件由式（5）中，点转移矩阵
第二可以通过提取矩阵元素得到这影响沿轴向状态向量的大小。同样，耦合元四
点转移矩阵可以和获得7和10。
基于以上的分析和对尺寸的一些基本数据和轧辊的性能参数，方柱和杆 在表1中，连接元件的整体传递矩阵显示和非耦合元件可以完全获得。
3.3 杆，方柱和棒的刚度
组件之间的连接刚度示于图2.。 根据轧机的主要部件的尺寸和材料属性，
在此表中，某些运动的关节连接是非约束。然而，由于相对于一定的阻力 运动，一个非常小的等效刚度可以生成和它可以假设第一。因为有阻尼之间杆和轴承座孔，刚度在这个位置被假定为零和阻尼是在第四节中加以讨论。
3.4 基本要素的空间转移矩阵
首先，梁单元的空间传递矩阵进行了讨论。如果梁单元的横截面具有两个轴对称的，则剪切中心与重心是一致的。因此，Timoshenko（1955）得出的结论是横向，轴向和扭转振动彼此依赖的。因此，对空间传递矩阵梁单元如下所示：
那里的传输矩阵U可以通过组合该平面以下方式获得横向，轴向和扭转振动的传递矩阵束元件，其每一个元件可以由平面可见由Luo（1989）介绍了传递矩阵。
第二，弹性支承元件的空间传递矩阵如下所示：
第三，联合弹簧元素的空间转移矩阵为如下图所示：
3.5传输矩阵Riccati变换
链辊系统的转移矩阵的特征值是要使用基于整体传递矩阵法计算 由Rui（2008）引入Riccati变换。
一个点的状态向量分解为基于两个部分关于Riccati传递矩阵法：
其中，Pa含有所述状态向量的元素的值的一半，而含有Pb的另一半要素状态向量，这些都是未知的值。 T11，T12，T21，T22是转移矩阵的子矩阵。
该
Riccati变换为（Si是的Riccati传递矩阵），以及Riccati传递
矩阵则递推公式可以得到，即 很显然，的边界条件的
可以通过S1来计算。根据自由振动，行列式
是零，这是频率特性方程。系统的固有频率可以通过求解以下
方式获得的方程和模式形状可以计算。
4.数值模拟和实验结果
4.1摩擦阻尼和空间转移的转型矩阵
由于沉重的轧制载荷，轴承座孔和球垫之间的摩擦阻尼不可忽视，它有一个很大的在轧辊的水平方向和轴向方向上实现。油润滑摩擦阻尼非粘性阻尼，并且可以简化作为一个等效粘性阻尼;等效系数粘性阻尼通过Ni（1986）提出了可以表示为：
其中f是摩擦力，μ为摩擦系数，N是滚动负载，ω是频率，而B是振幅。 在某些润滑条件，轧制负荷μ是0.1;，N是160千牛。证明阻尼对频率，频率的效果系统无阻尼的代入ω，B是在获得实验通过位移传感器和横向的值 与轴线方向示于表3中。可以看出，该轧机无间隙的振幅低10倍比轧机有间隙的。
考虑摩擦阻尼，空间移动的效果可以通过该系统的无阻尼来获得系统的阻尼矩阵，即
被替换
， k被替换为k+λC，其中，
λ是复杂的频
率的实部εr是衰减系数和虚数部ε我是系统的阻尼固有频率。 4.2 复频
频率特性方程
和本征值λ考虑阻尼是复杂的数字和牛顿迭代法是
需要解方程：其中
该实验是在无高刚度轧机进行间隙来验证计算结果。使用YDSP的遥测动态测试系统的机械参数，振动可以得到的垂直，水平和轴向方向上的频谱通过对上，下轴承座的底部固定加速度与50 kHz的采样频率驱动侧。该数值模拟结果和实验结果列表于表4。 结果表明：（1）对于每个固有频率轧机无间隙的，计算结果基本同意实验结果;（2）是否考虑阻尼，每个自然频率轧机无间隙的，与比较磨间隙，显着提高，特别是一阶和第三阶固有频率也增加了4倍;（3）复频两种磨机，如增加频率高低排列，实部
基本上增加，之间的差异虚部和同阶的增加ω为好，即
阻尼固有频率的效果变得明显，（4）对于同阶的阻尼和无阻尼自然频率时，前者大于后者在磨间隙，而前者比后者在磨下无间隙，即阻尼对两个轧机固有频率的影响是不同的。
4.3．复杂的模态振型
由于模态振型是复数，复数模式形状模块计算与实数部分的符号做是为了使 确保复模形状可以更容易表达。为了说明的轧辊的空间振动，X，Y和Z用于表示位移模式形状在轴向，横向和垂直方向中，
和
是用来表示旋转关于x
的角度模态振型，y和z轴。
轧制的前四个复杂的模态振型的振幅磨间隙都显示在图4中。
第一阶振型为两个辊是轴向位移模式形状在图4a中可以看出在x方向。点 线表示两个辊和细线的初始位置是在同一方向上不相等的轴向位移模式形状x。杆的形状精度将受到的错位传因严重轴向振动。在第二和第三阶模式形状为两个辊之间的水平横模的形状轧辊在水平面（X-Y ），图4b和c的分别中可以看出， 这是不平等水平之间的耦合模态位移振型Y通过细线表示，水平旋转角度模式形状绕轴z在同一方向。两辊的模态振型是由厚的代表线。水平横模态之间的具体影响上杆的质量两个辊是后面将要强调的。第四两辊的振型是一个垂直摆动振型在垂直平面内（ X-Z ）可以在图4d中看见 。这是不平等的垂直位移之间的耦合模态模式由细线表示的形状Z和摆动模态绕Y轴y在相反的方向。该模式两卷的形状由粗线表示。垂直摆动模式形状引出两个辊本体之间的角度这对通和杆的尺寸精度的形状的效果。
然后讨论集中在横截面模式两辊之间的塑造。
首先，引起交叉的动态异常轴向力导致使用寿命短端推力滚子轴承。二，不平等在图中所示的水平位移。图5a导致的轻微变化轧辊间隙，影响杆的尺寸精度。三，水平旋转角度通过诱导产生椭圆形的错位或在图中所示的任何其他非圆形的横截面。图5b，从而杆的横截面的椭圆率的影响。 轧制的前四个复杂的模态振型的振幅 磨无间隙示于图6。
在第一和第三阶模式形状为两个辊，图6a和c分别是耦合模态粗线在水平面（X-Y）不平等水平之间位移振型Y通过细线表示，而水平转角模态绕轴z在相反的方向。在这种情况下，双辊机构是大致平行的这意味着该水平横模的形状不会发生。第二和第四阶模态形状的两卷，所示图6b和d，是耦合模态振型代表用粗线在垂直平面（X-Z）垂直不平等之间位移模式细线代表形状Z和摆动模态绕Y轴y在相反的方向。在这种情况下，二辊体大致平行，以及有效地确保杆的尺寸精度。
基于两种轧机上述模式形状分析，可以看出，对于无间隙2辊轧机，可避免的轴向振动和两个辊在水平（X-Y）或垂直平面大致平行（X-Z）时，水平或垂直原理振动发生，这意味着该水平横振动可以通过两个辊轧机的重新设计完全消除。因此，轧制产品的质量和轧机结构的安全可以大大提高。
图4. 轧机有间隙的复合模态的振幅（a）第一级，（b）第二级，（c）第三级（d）第四级。