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BACHELOR ’S THESIS 正确解法2: ?z1z2?R,\\z1z2=z1z2 \\(3+4i)(t-i)=(3-4i)(t+i) (3t+4)+(4t-3)i=(3t+4)+(3-4t)i
4t-3=3-4t
3 t= \\故答案 选A.
4例3 两个共轭复数的差是（ ）
A.实数 B.纯虚数 C.零 D.零或纯虚数
错解 设z=a+bi,则z=a-bi (a,b?R)
则 z-z=2bi 或z-z=-2bi . \\故答案 选 B.
剖析 z-z=2bi是就误选B，忽略了b可以为零的情况，造成错解的原因是：
（1）认真审题不够，混淆了共轭虚数的区别.
（2）思维方法错误，缺乏辩证观点，形式地记住了纯虚数bi，而忽略了a,b的取值范围.
-正确解法: 设z=a+bi z=az-z=2bi 或 z-z=-2bi，
b(ai,b?R) 则
当b10时，为纯虚数；当b=0时，为零. \\故答案 选 D.
2.2复数平移失误
我们知道复平面内相同的向量表示相同的复数，因此,当复数对应的向量平移后它所对应的复数不变．但是在平时的学习中学生对此未给予足够的重视而常常犯一些错误，其主要原因是没有弄清楚复数的对应点的平移与复数对应向量的平移之间的区别，下面以题为例．
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BACHELOR ’S THESIS 例4 设向量OZ（O是坐标原点）对应的复数为z，将OZ按顺时针方向旋转
?,再沿实轴正方向平移3个单位,向下平移一个单位,若所得的向量对应的6复数为3-i，求复数z．
错解 因为将OZ按顺时针方向旋转
?得复数6轾骣p骣p31鼢z犏cos珑-+isin-=z-iz， 鼢珑鼢珑犏桫桫6622臌再沿实轴正方向平移三个单位，向下平移一个单位，得复数
骣3?z+???桫2骣3z+?再由题意得 ???2桫1÷3÷-iz-i， ÷÷21÷3÷-iz-i=÷÷23-i
解得 z=3-1+23-3i. 2错误分析: 由于这个例子与别的例子不同,这是向量平移，无论向量平移到什么地方，它所表示的复数都是相同的．
正确解法: 因为将OZ按顺时针方向旋转
?的复数 6轾骣p骣p31鼢z犏cos珑-+isin-=z-iz， 鼢珑鼢珑犏桫桫6622臌此复数对应的向量再沿实轴正方向平移3个单位，向下平移1个单位，所得的复数仍然是 31z-iz， 2231z-iz=223-i，
再由题意得
解得 z=2．
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BACHELOR ’S THESIS 2.3 复数模与辐角失误
2.3.1 求辐角主值时出现错误 例5 已知argz=b．求argz2． 错解 ?argz=b，\\argz2=arg(z?z)2b．
错误分析: 辐角主值取值范围为[0,2p)．
正确解法: 由argz=b，设z=r(cosb+isinb)(r>0)， 则z2=r2(cos2b+isin2b)，当b?[0,p)时，2b?[0,2p)
\\argz2=2b．
当b?[p,2p)时，2b?[2p,4p)．argz2=2b-2p．
\\argz2=2b b [0,p) argz2=2b-2p b [p,2p)
2.3.2 模的失误
例6 求复数z=1+cosb+isinb(0＃b错解 z=1+cosb+sinb=2cos2b骣bb÷=2cos?cos+isin÷ ?桫22?2÷\\z=2cosb. 22p)的模.
bbb+2isin cos 222错误分析: 由于不正确理解r=z，所以没对cos
?2
进行讨论．
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BACHELOR ’S THESIS b骣bb÷正确解法: 由z=2cos?cos+isin÷讨论得： ?桫22?2÷ (1)当0＃bb2p(2)当p 例7 已知z=2z+9i，求复数z. 错解 将z=2z+9i平方得 z=4z2+36iz-81 故 z=-9i或-3i . 简析: 在实数中有z=z2成立，于是就认为在复数中一般的有z1z2，如：i2=-1 1，而 i=1这实际上是数集扩展到复数集时，将一些运算法则类比来而造成的错误. 正确解法: 设z=a+bi(a,b?R),则由得a2+b2=2(a+bi)+9i， 可得 a=339,b=- 222222故 z= 339-i . 22 11 学 士 学 位 论 文 BACHELOR ’S THESIS 2.3.3 复数的模的性质应用错误 例8 关于y的方程y2+4y+m=0的两根为y1和y2．若y1-y2=2，求 实数m. ìy1+y2=-4??错解 由韦达定理得 í ?y?ym??12\\(y1-y2)=4 \\(y1+y2)-4y1?y22224 2错误分析: 当y?R时，有y=y2成立；而y?C时，y1y2． ìy1+y2=-4?正确解法: 由韦达定理得 ? í???y1?y2m?y1-y2=2 \\(y1-y2)2=4 \\(y1+y2)-4鬃y1y2=4 \\16-4m=4 2\\m=3或m=5. 例9 若复数Z满足z-1+i+z-1=1，求z+1+i的最大值. 错解 由z-1+i+z-1=1，知Z对应的轨迹为一条线段，且1＃z2 ?z+i+1?zi+1=z+2 22 \\z+i+1max=22 . 错误分析: 这用模的不等式时，忽视了等号成立的条件，实际上，公式 z1+z2?z1z2，当且仅当z1,z2对应的向量中至少有一个向量或这两个向量 方向一致时取等号. 正确解法: 由z-1+i+z-1=1表示一条线段，则z+1+i的最大值就是复数-1-i与对应点的距离，故 z+1+imax= 12 5 .