高中数学第二章基本初等函数(Ⅰ)2.3幂函数学案(含解析)新人教A版必修1

2.3 幂函数

课标要点

课标要点 1.幂函数的概念 2.幂函数的图象 3.幂函数的性质 知识导图

学考要求 a b b 高考要求 a b b 学法指导

1.能正确区分幂函数与指数函数.

2.学会以五个常见的幂函数为载体,研究一般幂函数的图象和性质. 3.会运用幂函数的图象和性质比较实数的大小.

知识点一 幂函数的概念

一般地,函数y=x叫做幂函数,其中x是自变量,α是常数.

幂函数中底数是自变量,而指数函数中指数为自变量.

知识点二 幂函数的图象与性质 函数 定义域 值域 奇偶性 α

y=x R R 奇函数 y=x2 R {y|y≥0} 偶函数 在(-∞,0) y=x3 R R 奇函数 y=x {x|x≥0} {y|y≥0} 非奇非 偶函数 12y= x{x|x≠0} {y|y≠0} 奇函数 1单调性 在R上 递增 上递减, 在(0,+∞) 上递增 在R上 递增 在(0,+∞) 上递增 在(-∞,0) 和(0,+∞) 上递减 图象 过定点 (0,0),(1,1) (1,1) 幂函数在区间(0 , +∞)上,当α>0时,y=x是增函数;当α<0时,y=x是减函数.

αα

[小试身手]

1.判断(正确的打“√”,错误的打“×”) (1)函数y=x(x≠0)是幂函数.( ) (2)幂函数的图象必过点(0,0)和(1,1).( ) (3)幂函数的图象都不过第二、四象限.( ) 答案:(1)√ (2)× (3)×

122

2.在函数y=4,y=3x,y=x+2x,y=1中,幂函数的个数为( )

0

xA.0 B.1 C.2 D.3

1-4

解析:函数y=4=x为幂函数;

x2

函数y=3x中x的系数不是1,所以它不是幂函数;

函数y=x+2x不是y=x(α是常数)的形式,所以它不是幂函数; 函数y=1与y=x=1(x≠0)不相等,所以y=1不是幂函数. 答案:B

3.幂函数y=f(x)经过点(2,2),则f(9)为( ) 1

A.81 B.

3C.

1

D.3 81

11α

α

0

2

α

2

1

解析:设f(x)=x,由题意得2=2,∴α=.∴f(x)=x2,∴f(9)=92=3,故选

2D.

答案:D

4.已知幂函数f(x)=(m-3m+3)x2

m+1

为偶函数,则m=( )

A.1 B.2 C.1或2 D.3

解析:∵幂函数f(x)=(m-3m+3)x2

m+1

为偶函数,∴m-3m+3=1,即m-3m+2=0,

2

22

解得m=1或m=2.当m=1时,幂函数f(x)=x为偶函数,满足条件.当m=2时,幂函数f(x)=x为奇函数,不满足条件.故选A.

答案:A

3

类型一 幂函数的概念

?1?x3252

例1 (1)下列函数:①y=x;②y=??;③y=4x;④y=x+1;⑤y=(x-1);⑥y?2?

=x;

⑦y=a(a>1).其中幂函数的个数为( )

A.1 B.2 C.3 D.4 (2)若函数y=(m+2m-2)x为幂函数且在第一象限为增函数,则m的值为( ) A.1 B.-3 C.-1 D.3

2

xm?1?(3)已知幂函数f(x)的图象经过点?3,?,则f(4)=________. ?9?

【解析】 (1)②⑦为指数函数,③中系数不是1,④中解析式为多项式,⑤中底数不是自变量本身,所以只有①⑥是幂函数.

(2)因为函数y=(m+2m-2)x为幂函数且在第一象限为增函数,

??m+2m-2=1,所以?

?m>0,?

2

2

m

所以m=1.

1αα

(3)设f(x)=x,所以=3,α=-2,

91-2

所以f(4)=4=.

16

1

【答案】 (1)B (2)A (3)

16

(1)依据幂函数的定义逐个判断. (2)依据幂函数的定义列方程求m .

(3)先设f(x) =x,再将点(3 ,)代入求α .

9 方法归纳

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