第十三章 压杆稳定
§13.1 压杆稳定的概念
构件受外力作用而处于平衡状态时，它的平衡可能是稳定的，也可能是不稳定的。 一、压杆稳定
直杆在压力作用下，保持原直线状态的性质。 二、失稳（屈曲）
压杆丧失其直线形状的平衡而过渡为曲线平衡。 三、临界压力
压杆保持其直线状态的最小压力，Fcr。
§13.2 两端铰支细长压杆的临界压力
在压杆稳定性问题中，若杆内的应力不超过材料的比例极限，称为线弹性稳定问题。
图示坐标系中，距原点为x的任一截面的挠度为y， 则该截面得弯矩为：M(x)?Fcry
x Fcr d2yM(x) 代入挠曲线近似微分方程，即?-2dxEId2yFcry22 得： ?ky?0,k?2dxEI方程通解为：y?Asinkx?Bcoskx?0 由杆端的边界条件：x?0和x?l时，y?0
n?0 求得 ： B?0,Asikx解得：
l y x y n?n2?2EI k?(n?0,1,2,????)Fcr?2llFcr 除n=0外，无论n取何值，都有对应的Fcr，n?1压杆失稳时的最小荷载是临界载荷
上式称为两端铰支细长压杆的临界荷载的欧拉公式。杆越细长，其临界载荷越小，即杆越容易失稳。对两端铰支细长压杆，欧拉公式中的惯性矩I应是横截面最小的惯性矩，即形心主惯性矩中的做小值Imin
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?2EIFcr?2l§13.3其他支座条件下细长压杆的临界压力
表11-1 几种常见约束方式的细长压杆的长度因数与临界载荷 支持方式 两端铰支 一端自由 另一端固定 两端固定 一端铰支 另一端固定 F B F B F D A F B Fcr ?
例题：两端铰支压杆如图11-8所示，杆的直径d?20mm，长度l?800mm，材料为Q235钢，E?200GPa，?p?200MPa。求压杆的临界载荷Fcr。
解：根据欧拉公式
此时横截面上的正应力
Fcr4?24.2?103????77MPa??P 2?6A??20?10 l 挠曲线形状l 4l 20.7l l C A （d） l A （a） l A C F （b） （c） C l 4B l2 ?2EI ?2EI 2?2l?2.0 ?2EI?0.5l?2 ?2EI?0.7l?2 1.0 0.5 0.7 F图 11-8F?2EI?3?200?109?204?10?12Fcr???24.2kN
(?l)264?(1?0.8)2 2
上式表明压杆处于弹性范围，所以用欧拉公式计算无误。
§13.4 压杆的临界压力
一、临界应力和柔度
Fcr?2EI?cr?? 2A（?l）A上式中的惯性矩I可用横截面面积A和惯性半径i表示，即I?Ai2代入上式得：
?2EIi2?2E?2E?cr???2 2?l（?l）（）?2iλ 是一个量纲为1的量，称为压杆的柔度或长细比。 二、欧拉公式的适用范围
欧拉公式的适用范围是临界应力?cr不超过材料的比例极限?p，即：
?2E?2E?cr?2??p ， ??
?p??2E令： ?p?
?p?p是压杆应用欧拉公式的最小柔度值。满足???p的压杆，称为大柔度杆或细长杆 ?p仅取决于压杆材料的力学性能，而与截面形状和杆端约束力无关。
三、超过比例极限的压杆稳定性问题
?a?b?（a、b是与材料有关的常数）。 a??cr令?cr??s，则?s?
b直线公式的适用范围为： ?s????p
满足?s1. 直线公式：?cr????p的压杆称为中柔度杆或中长杆，其临界应力为?p????s
2??a?b?2. 抛物线公式 ：cr（a、b是与材料有关的常数）。 11对于中、小柔度压杆的临界应力，也可采用抛物线公式计算。 四、临界应力总图
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例题
?s ?cr??s A B ?cr?a?b? ?2E?cr?2??p
?C D ?p O ?s
?p λ
1. 两端用球铰支撑的钢柱，已知其矩形横截面的尺寸为b?h?60mm?100mm，钢的弹
性模量E?200MPa，其比例极限?p?240MPa。试用欧拉公式计算压杆稳定问题的最短柱长。
解： imin?Iminhb360???17.3mm A12bh23?2E?2?200?109?p???90.7 6?p240?10由???li??p，并注意??1，可得：
l??pimin?90.7?17.3?1.57m
若柱的长度不超过1.57米，它在失稳时的临界应力就不会超过材料的比例极限。
2. 如图11-10所示，压杆的横截面为d?15mm的圆截面，两端铰支，杆长l?200mm，
材料的E?210GPa，?p?200MPa，?s?240MPa，a?304MPa，b?1.12MPa。试求压杆的临界载荷Fcr。
l 图 11-10 F 解：梁为两端铰支的圆截面，故惯性半径i?柔度为
I?d4/64d??，长度因数??1，2A?d4??而
?li?4?l4?1?200??80。 d104
?2E?2?200?109?p???101.8 6?p200?10?s?a??s304?240??57.1 b1.12
即?p????s，该压杆是中柔度杆，其临界应力选用直线公式来计算，为
?cr?a?b??304?1.12?80?214?MPa?
压杆的临界载荷为
Fcr?A?cr?
?d24?cr???0.01?4
2?214?106?16
§13.5 压杆的稳定校核
一、安全因数法
Pcrn??nst
P二、折减因数法
??F???W?????? A??W???crnst例题：
，?是折减因数，并且??1
1. 图11-11所示的钢柱长，两端固定，材料是Q235钢，E?200GPa。规定的稳定安全系数nst?3，横截面由两个10号槽钢组成。试求当两槽钢靠紧［如图11-11（a）所示］和离开［如图11-11（b）所示］时钢柱的许可载荷。
yyyyxx
解：由图可知，钢柱两端均为固定端，在xy、yz平面内长度因数均为??0.5，但
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