功和能
[真题再现]
1．(2015·北京理综)如图所示，弹簧的一端固定，另一端连接一个物块，弹簧质量不计．物块(可视为质点)的质量为m，在水平桌面上沿x轴运动，与桌面间的动摩擦因数为μ.以弹簧原长时物块的位置为坐标原点O，当弹簧的伸长量为x时，物块所受弹簧弹力大小为F＝kx，k为常量．
(1)请画出F随x变化的示意图；并根据F-x图象求物块沿x轴从O点运动到位置x的过程中弹力所做的功．
(2)物块由x1向右运动到x3，然后由x3返回到x2，在这个过程中， a．求弹力所做的功，并据此求弹性势能的变化量；
b．求滑动摩擦力所做的功，并与弹力做功比较，说明为什么不存在与摩擦力对应的“摩擦力势能”的概念．
121212答案：(1)见解析图 －kx (2)a.kx1－kx2
2221212
kx2－kx1 b．－μmg(2x3－x1－x2) 见解析 22解析：(1)F-x图象如图所示．
物块沿x轴从O点运动到位置x的过程中，弹力做负功；F-x图线下的面积等于弹力做功大小．弹力做功
WT＝－·kx·x＝－kx2.
1
212
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(2)a.物块由x1向右运动到x3的过程中，弹力做功
2
WT1＝－·(kx1＋kx3)·(x3－x1)＝kx21－kx3
1
21212
物块由x3向左运动到x2的过程中，弹力做功
2
WT2＝·(kx2＋kx3)·(x3－x2)＝kx23－kx2
1
21212
整个过程中，弹力做功
2
WT＝WT1＋WT2＝kx21－kx2
1
212
弹性势能的变化量 1212
ΔEp＝－WT＝kx2－kx1
22b．整个过程中，摩擦力做功
Wf＝－μmg(2x3－x1－x2)
与弹力做功比较，弹力做功与x3无关，即与实际路径无关，只与始末位置有关，所以，我们可以定义一个由物体之间的相互作用力(弹力)和相对位置决定的能量——弹性势能．而摩擦力做功与x3有关，即与实际路径有关，所以，不可以定义与摩擦力对应的“摩擦力势能”．
2.(2015·江苏单科) 一转动装置如图所示，四根轻杆OA、OC、AB和CB与两小球及一小环通过铰链连接，轻杆长均为l，球和环的质量均为m，O端固定在竖直的轻质转轴上．套3
在转轴上的轻质弹簧连接在O与小环之间，原长为L.装置静止时，弹簧长为L.转动该装置并
2缓慢增大转速，小环缓慢上升．弹簧始终在弹性限度内，忽略一切摩擦和空气阻力，重力加速度为g.求：
(1)弹簧的劲度系数k；
(2)AB杆中弹力为零时，装置转动的角速度ω0；
31
(3)弹簧长度从L缓慢缩短为L的过程中，外界对转动装置所做的功W.
22
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4mg答案：(1) (2)
L8g16mgl (3)mgL＋ 5LL2
解析：(1)装置静止时，设OA、AB杆中的弹力分别为F1、T1，OA杆与转轴的夹角为θ1. 小环受到弹簧的弹力F弹1＝k·
2小环受力平衡，F弹1＝mg＋2T1cos θ1 小球受力平衡，F1cos θ1＋T1cos θ1＝mg
LF1sin θ1＝T1sin θ1
4mg解得k＝.
L(2)设OA、AB杆中的弹力分别为F2、T2，OA杆与转轴的夹角为θ2，弹簧长度为x. 小环受到弹簧的弹力F弹2＝k(x－L) 5
小环受力平衡，F弹2＝mg，得x＝L
4对小球，F2cos θ2＝mg
F2sin θ2＝mω20lsin θ2
且cos θ2＝
2l解得ω0＝
8g. 5Lx1
(3)弹簧长度为L时，设OA、AB杆中的弹力分别为F3、T3，OA杆与弹簧的夹角为θ3.
21
小环受到弹簧的弹力F弹3＝kL
2
小环受力平衡，2T3cos θ3＝mg＋F弹3，且cos θ3＝
4l对小球，F3cos θ3＝T3cos θ3＋mg
LF3sin θ3＋T3sin θ3＝mω23lsin θ3
解得ω3＝
16gL
整个过程弹簧弹性势能变化为零，则弹力做的功为零，由动能定理 1?3LL??3LL?W－mg?－?－2mg?－?＝2×m(ω3lsin θ3)2
?22??4
2
4?
2
16mgl解得W＝mgL＋. L规律探寻
1．以上题目均以弹簧连接的系统为物理情景，是考查变力做功问题及能量转化问题极
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