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关于几何变换的几道综合题
【与旋转有关的几何证明题】 1．（05北京）已知?ABC，分别以AB、BC、CA为边向外作等边三角形ABD、等边三角形BCE、等边三角形ACF．
（1）如图1，当?ABC是等边三角形时，请你写出满足图中条件，四个成立的结论； （2）如图2，当?ABC中只有?ACB?60?时，请你证明S?ABC与S?ABD的和等于S?BCE与
S?ACF的和．
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图1 图2 .................
（2）解法二：
过A作垂线，利用?ACB?60?将BC用AC、BC表示 DAF出来，进而将每部分的面积和都表示出来，即可得证。
此题目中包含了基本图形变换，其本质是旋转问题， CBM但也体现了一些求面积的方法。
E
【变化过程中不变的量及关系】 2. （2008年广东省中山市）（1）如图7，点O是线段AD的中点，分别以AO和DO为边在线段AD的同侧作等边三角形OAB和等边三角形OCD，连结AC和BD，相交于点E，连结BC．求∠AEB的大小；
B C B C
E
D A A O O
D 图7 图8
（2）如图8，ΔOAB固定不动，保持ΔOCD的形状和大小不变，将ΔOCD绕着点O旋转（ΔOAB和ΔOCD不能重叠），求∠AEB的大小. 解：（1）如图7.
CB∵ △BOC和△ABO都是等边三角形，
5E且点O是线段AD的中点，
∴ OD=OC=OB=OA,∠1=∠2=60°, ∴ ∠4=∠5.
31 又∵∠4+∠5=∠2=60°, 264DA ∴ ∠4=30°. O图7同理，∠6=30°.
∵ ∠AEB=∠4+∠6,
B ∴ ∠AEB=60°.
（2）如图8.
∵ △BOC和△ABO都是等边三角形， 5C∴ OD=OC, OB=OA,∠1=∠2=60°，
E7又∵OD=OA, 83 2 ∴ OD＝OB，OA＝OC， 61O ∴ ∠4=∠5，∠6=∠7.
图8∵ ∠DOB=∠1+∠3, 4 ∠AOC=∠2+∠3, ∴∠DOB=∠AOC. D∵ ∠4+∠5+∠DOB=180°, ∠6+∠7+∠AOC=180°, .................
A.................
∴ 2∠5=2∠6, ∴ ∠5=∠6.
又∵ ∠AEB=∠8-∠5， ∠8=∠2+∠6， ∴ ∠AEB＝∠2＋∠5－∠5＝∠2， ∴ ∠AEB＝60°.
这是一道变换条件但结论不变的变式题，纯几何图形的关于旋转的简单证明，注意图形之中有不变的量。其解法十分相似，第（1）题是第（2）题的特殊情形，第（2）题是第（1）题结论的推广，这体现了从特殊到一般的数学思想，利于培养学生思维的深刻性和灵活性。题目的图形可变，数字可变，条件可变，结论亦可变，充满着神奇，孕育着创造！
例1 （2008湖北）小华将一张矩形纸片（如图1）沿对角线CA剪开，得到两张三角形纸片（如图2），其中?ACB??，然后将这两张三角形纸片按如图3所示的位置摆放，?EFD纸片的直角顶点D落在?ACB纸片的斜边AC上，直角边DF落在AC所在的直线上. （1）若ED与BC相交于点G，取AG的中点M，连接MB、MD，当?EFD纸片沿CA方向平移时（如图3），请你观察、测量MB、MD的长度，猜想并写出MB与MD的数量关系，然后证明你的猜想；
（2）在（1）的条件下，求出?BMD的大小（用含?的式子表示），并说明当??45°时，
?BMD是什么三角形？
（3）在图3的基础上，将?EFD纸片绕点C逆时针旋转一定的角度（旋转角度小于90°），此时?CGD变成?CHD，同样取AH的中点M，连接MB、MD（如图4），请继续探究MB与MD的数量关系和?BMD的大小，直接写出你的猜想，不需要证明，并说明?为何值时，?BMD为等边三角形.
A D
A F
D
B 图1
C B 图2
C
E
A M B E G
A D
C
M
D B F
E
C
H
图4
F
图3
解：（1）MB=MD
证明：∵AG的中点为M ∴在Rt?ABG中， MB?1AG 2.................