atatatat1.设线性空间V为由基函数x1?ecosbt,x2?esinbt,x3?tecosbt,x4?tesinbt
生成的实数域上的线性空间，令y1?ecosb(t?1),y2?esinb(t?1),y3?tecosb(t?1),y4?tesinb(t?1) （1）分别求向量y1,y2,y3,y4在基函数x1,x2,x3,x4下的坐标；
（2）证明：y1,y2,y3,y4也为V的一组基；（3）求y1,y2,y3,y4到x1,x2,x3,x4的过渡矩阵。 2.设线性空间R2?2atatatat?01?2?22?2中的矩阵B???，定义R中的一个变换T为T(X)?XB,X?R。
?40??10??01??00??00?，，，E?E?E????????下的矩阵； 122122?00??00??10??01?（1）证明：T是线性变换； （2）求T在基E11??（3）求R2?2的一组基，使T在这组基下的矩阵为对角阵。
3.设e1,e2,e3,e4,e5是R5中的一组标准正交基，V?Span??1,?2,?3?，其中?1?e1?e3?e5，?2?e1?e2?e4，
?3?e1?3e2?2e3?3e4?2e5，求V?的一组标准正交基。
4.设T为欧氏空间R中的线性变换，对(x,y,z)?R，令
3
3T(x,y,z)?(xcos?cos??ysin??zsin?cos?,xcos?sin??ycos??zsin?sin?,xsin??zcos?)
（1）求线性变换T在基?1?(10（2）证明：T为正交变换。
0)T,?2?(010)T,?3?(001)T下的矩阵；
?102???5.设A=?0-11?
?010????12（1）设f(x)?2x?3x?x?x?4，求f(A)；（2）求参数a，b，使A?aA?bE。
8542?31-1???6.设A??12-1?
?210???（1）求A的不变因子、初等因子和最小多项式；（2）求A的约当标准形；（3）求e。
At1??1-??105?7.设A???，试讨论幂级数?(?1)kk2Ak的敛散性。
k?1?41????510?8.设Aa是C矩阵范数。
n?n上相容的矩阵范数，D是n阶可逆矩阵，证明对任意A?Cn?nn?n，Ab?DAD是C上相容的
-1a 矩阵理论试卷（A）（2008级） (共1页) 成绩
学院班级＿＿ ＿; 姓名＿＿＿ ＿＿； 学号＿ ＿＿ ＿＿
1 （15分）给定 R2?2?{A?(aij)2?2|aij?R}（数域R上二阶实方阵按通常矩阵的加法与数乘构成的线性空间）
ai j)的子集 V?{A?(2?（1）证明V是R2?22a|1?1a?a,? R220i j}
?32?的子空间；（2）求V的维数和一组基；（3）求A???在所求基下的坐标。
5?3??2 （15分）设?为n维欧氏空间V中的单位向量，对V中任意一向量x, 定义线性变换T: T(x)?x?2(?,x)?, （1）证明：T为正交变换； （2）证明 T对应特征值1有n-1 个线性无关的特征向量；（3）问T能否在某组
基下的矩阵为对角阵，说明理由。
?010???3 （15分）设矩阵A???120?
??110???（1）求A的若当标准形；（2）求A的最小多项式；（3）计算g(A)?A?4A?5A?E。 4（10分）设R中的线性变换T如下：T(x1,x2,x3)?(2x1?x2,x2?x3,x2?x3) ; (xi?R)
TTT3(1) 写出T在基 ?1=(1, 1, 0),?2=(0, 1, 1), ?3=(0, 0, 1)下的矩阵；(2) 求T(R)及Ker(T)。
5323
5 （10分）已知多项式矩阵
0???1?2??7(??2)A(?)???00?0?0400(??1)20??0?，求A(?)的初等因子及史密斯标准形。
?0?(??1)(??5)?0TT6（10分）在欧氏空间R中， 对任意两个向量??(a1,a2,a3,a4) , ??(b1,b2,b3,b4),定义内积
?)a1b1? (?,?2a2b?2a3?b3a 4b?2x1?x2?x3?x4?0求齐次方程组? 的解空间的一组标准正交基。
x?x?x = 0?1237 （10分）(1) 设A为可逆矩阵, 证明对任何矩阵的算子范数, 都有||A?1||?||A||?1。
8?6i11???4??6?3?, 利用(1)的结论分别估计||A?1||1和||A?1||?的下界。 （2）设A??3?12?5i12????200???At8（15分）已知A?111, 求矩阵函数f(A)?e。
???1?13???
1.给定线性空间R3的两组基：
?1?(1,0,1),?2?(2,1,0),?3?(1,1,1),
?1?(1,2,-1),?2?(2,2,-1),?3?(2,-1,-1).试求从基?1,?2,?3到基?1,?2,?3的过渡矩阵。 2.设线性空间R2?2?A?(xij)2?2xij?R（数域R上二阶实方阵按通常矩阵的加法与数乘构成的线性空间）的子
?集V?A?(xij)2?2x11?x22?0,xij???R?
（1）给定V的变换T(X)?X?X(?X?V)，验证T是V上的线性变换； （2）求V的一组基及T在该基下的矩阵； （3）求T的全体特征值和特征向量。
3.设V为n维欧氏空间，?为V中一个固定的非零向量，证明： （1）V1?x(x,?)?0,x?V是V的一个子空间； （2）V1的维数为n?1。 4.在R?x?3中定义内积(f,g)?2T???1?1f(x)g(x)dx，
（1）求对基1，x,x正交单位化所得R?x?3的一组标准正交基； （2）求f(x)?x?1在上述标准正交基下的坐标。
2?202???5.设A??-131?
?1-13???（1）证明：在任意的数域F上，A都不可能相似于一个对角阵； （2）设f(x)?x?10x?36x?56x?32，计算f(A)。 6.设A?Cn?n432，AM为满足相容性条件的矩阵范数，AT为从属于某向量范数x的算子范数，E为n阶单位矩阵。
M求证：（1）E（2）ET?1。 ?1；
??200???n7.设A??021?，S?xx?1,x?C，求：
2?012?????（1）矩阵A的算子范数A1和A?的值；（2）Ax2在S上的最大值。
??110???8.已知A???430?，
?102????1（1）求A的约当标准形J及相似变换矩阵P使得PAP?J；（2）求矩阵函数f(A)?e。
A