第六篇 多元微积分学
第九章 多元函数微分学及其应用
我们以前学习的函数只有一个自变量，这种函数我们称为一元函数．一元函数的微积分解决了很多初等数学无法解决的问题．但是，在实际问题中往往牵扯到多方面的因素，解决这类问题必须引进多元函数．本章将在一元函数微分学的基础上，讨论多元函数的微分及其应用．从一元函数的情形推广到二元函数时会产生一些新的问题，而从二元函数推广到二元以上的多元函数则可以类推．通过本章的学习，学生要掌握多元函数微分学的基本原理以及解决几何、经济与管理、工程等领域的实际问题的具体方法.
第1节 多元函数的基本概念
1.1 平面点集
为了介绍二元函数的概念，有必要介绍一些关于平面点集的知识，在一元函数微积分中，区间的概念是很重要的，大部分问题是在区间上讨论的．在平面上，与区间这一概念相对应的概念是邻域．
1.1.1 邻域
??的设P0(x0,y0)是xOy平面上的一定点，是某一正数，与点P0(x0,y0)的距离小于?邻域，记为U(P0,?)，即 点P(x,y)的全体，称为点P0(x0,y0)的
U(P0,?)?PP0P??,
亦即 U(P0,?)?(x,y)???(x?x0)2?(y?y0)2??．
??为半径的圆的内部(不含圆周)． U(P0,?)在几何上表示以P0(x0,y0)为中心，
上述邻域U(P 0,?)．0,?)去掉中心P0(x0,y0)后，称为P0(x0,y0)的去心邻域，记作U(PoU(P0,?)?(x,y)0?(x?x0)2?(y?y0)2??.
如果不需要强调邻域的半径?，则用U(P0)表示0)表示点P0(x0,y0)的邻域，用U(Poo??P0(x0,y0)的去心邻域．
1.1.2 区域
下面用邻域来描述平面上的点与点集之间的关系．
设E是xOy平面上的一个点集，P是xOy平面上的一点，则P与E的关系有以下三种情形：
(1) 内点：如果存在P的某个邻域U(P)，使得U(P)?E，则称点P为E的内点．
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(2) 外点：如果存在P的某个邻域U(P)，使得U(P)?E??，则称P为E的外点． (3) 边界点：如果在点P的任何邻域内，既有属于E的点，也有不属于E的点，则称点P为E的边界点．E的边界点的集合称为E的边界，记作?E．
例如：点集E1???x,y?|0?x2?y2?1?，除圆心与圆周上各点之外圆的内部的点都是
E1的内点，圆外部的点都是E1的外点，圆心及圆周上的点为E1的边界点；又如平面点集
E2???x,y?|x?y?1?，直线上方的点都是E2的内点，直线下方的点都是E2的外点，直
线上的点都是E2的边界点(图9—1)．
图9—1 显然，点集E的内点一定属于E；点集E的外点一定不属于E；E的边界点可能属于E，也可能不属于E．
如果点集E的每一点都是E的内点，则称E为开集，点集E1?是开集，E2???x,y?|0?x2?y2?1???x,y?|x?y?1?不是开集．
??x,y?|xy?0?不是连通的
设E是开集，如果对于E中的任何两点，都可用完全含于E的折线连接起来，则称开集E是连通集(图9—2) ．点集E1和E2都是连通的，点集E3?(图9—2)．
图9—2
连通的开集称为开区域(开域)．
从几何上看，开区域是连成一片的且不包括边界的平面点集．如E1是开区域．开区域是数轴上的开区间这一概念在平面上的推广．
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开区域E连同它的边界?E构成的点集，称为闭区域(闭域)，记作E (即E=E??E)． 闭区域是数轴上的闭区间这一概念在平面上的推广．如E2及E4?都是闭域，而E5???x,y?|x2?y2?1???x,y?|1?x2?y2?2?既非闭域，又非开域．闭域是连成一片的且包
含边界的平面点集．
本书把开区域与闭区域统称为区域．
如果区域E可包含在以原点为中心的某个圆内，即存在正数r，使E?U?O,r?，则称E为有界区域，否则，称E为无界区域．例如E1是有界区域，E2是无界区域．
记E是平面上的一个点集，P是平面上的一个点．如果点P的任一邻域内总有无限多个点属于点集E，则称P为E的聚点．显然，E的内点一定是E的聚点，此外，E的边界点也可能是E的聚点．例如，设E6???x,y?|0?x2?y2?1?，那么点?0,0?既是E6的边界
22点又是E6的聚点，但E6的这个聚点不属于E6；又如，圆周x?y?1上的每个点既是E6的边界点，也是E6的聚点，而这些聚点都属于E6．由此可见，点集E的聚点可以属于E，也可以不属于E．再如点E7=??1,1?，(,)，(,),?,(??1122113311?),??，原点?0,0?是它的聚点，nn?E7中的每一个点都不是聚点．
1.1.3 n维空间Rn
一般地，由n元有序实数组?x1,x2,?,xn?的全体组成的集合称为n维空间，记作Rn．即
Rn???x1,x2,?,xn?|xi?R,i?1,2,?,n?．
n元有序数组?x1,x2,?,xn?称为n维空间中的一个点，数xi称为该点的第i个坐标．
类似地规定，n维空间中任意两点P?x1,x2,?,xn?与Q?x1,x2,?,xn?之间的距离为
PQ?(y1?x1)2?(y2?x2)2???(yn?xn)2．
n前面关于平面点集的一系列概念，均可推广到n维空间中去，例如，P，δ是某?R0一正数，则点P0的δ邻域为
U?P0,????P|PP0??,P?Rn?．
以邻域为基础，还可以定义n维空间中内点、边界点、区域等一系列概念．
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