2019-2020学年苏教版选修2-2 第2章 复习与小结 教案
教学重点：
了解本章知识结构，进一步感受和体会常用的思维模式和证明方法，形成对数学的完整认识． 教学难点：
认识数学本质，把握数学本质，灵活选择并运用所学知识解决问题．
教学过程：
一、 知识回顾 本章知识结构：
基础知识过关：
（1）合情推理包括 推理、 推理．
（2） 称为归纳推理；它是一种由 到 ，由 到 的推理．
（3） 称为类比推理；它是一种由 到 的推理．
（4）归纳推理的一般步骤是：① ，② ． （5）类比推理的一般步骤是：① ，② ． （6）从一般性的原理出发，推出某个特殊情况下的结论，我们称这种推理
为 ，它是一种 到 的推理．
（7） 和 是直接证明的两种基本方法．
（8）反证法证明问题的一般步骤：① ，② ， ③ ；④ ．
（9）数学归纳法的基本思想 ；
数学归纳法证明命题的步骤：① ，② ， ③ ．
二、数学运用
例1 （1）考察下列一组不等式：23＋53＞22·5＋2·52，24＋54＞23·5＋2·53，25＋55＞23·52＋22·53，…．将上述不等式在左右两端仍为两项和的情况下加以推广，使以上的不等式成为推广不等式的特例，则推广的不等式可以是 ．
（2）在平面上，若两个正三角形的边长的比为1∶2，则它们的面积比为1∶4，类似地，在空间内，若两个正四面体的棱长的比为1∶2，则它们的体积比为 ．
1（3）若数列{an}是等差数列，对于bn＝(a1＋a2 ＋…＋an)，则数列{bn}也是
n等差数列．类比上述性质，若数列{cn}是各项都为正数的等比数列，对于dn＞0，则dn＝ 时，数列{dn}也是等比数列．
解 （1）am＋n＋bm＋n＞ambn＋anbm(a，b＞0，a≠b，m，n∈N?)；
（2）体积比为1∶8； （3）nc1c2cn，n∈N?．
说明 （1）是从个别情况到一般情况的合情推理；
（2）是从平面到空间的类比推理； （3）是从等差数列到等比数列的类比推理．
例2 若△ABC的三个内角A，B，C成等差数列，分别用综合法和分析法证明：
ca＋＝1． a＋bb＋cca＋＝1， a＋bb＋c 证明 （分析法）要证
只需证c(b＋c)＋a(a＋b)＝(a＋b)(b＋c)，
即证c2＋a2＝ac＋b2，
∵△ABC的三个内角A，B，C成等差数列，∴C＝60°， 由余弦定理得b2＝a2＋c2－2accos60，即c2＋a2＝ac＋b2， 故原命题成立．
（综合法）∵△ABC的三个内角A，B，C成等差数列，∴C＝60°， 由余弦定理得b2＝a2＋c2－2accos60，即c2＋a2＝ac＋b2， 或c(b＋c)＋a(a＋b)＝(a＋b)(b＋c)， 两边同除以(a＋b)(b＋c)得
ca＋＝1． a＋bb＋c说明 分析法和综合法是两种常用的直接证明方法．分析法的特点是执果索因，综合法的特点是由因导果，分析法常用来探寻解题思路，综合法常用来书写解题过程．
例3 已知a，b，c∈(0，1)，求证：(1－a)b，(1－b)c，(1－c)a不能同时大于
1． 41”包含多种情形，不易直接证明，可考虑反证法． 41证明：假设(1－a)b，(1－b)c，(1－c)a同时大于，
4111即 (1－a)b＞，(1－b)c＞，(1－c)a＞，
444分析 “不能同时大于∵a，b，c∈(0，1)，
∴三式同向相乘得(1－a)b(1－b)c(1－c)a＞
1， 641－a＋a21又(1－a)a≤()＝，
24 11同理(1－b)c≤，(1－c)a≤，
441 ∴(1－a)b(1－b)c(1－c)a＞，这与假设矛盾，故原命题得证．
64说明 反证法属于“间接证明法”，是从反面的角度思考问题的证明方法．用反证法证明命题“若p则q”时，可能会出现以下三种情况：
（1）导出非p为真，即与原命题的条件矛盾； （2）导出q为真，即与假设“非q为真”矛盾；