【点评】此题考查了切线的性质、全等三角形的判定与性质、圆周角定理、勾股定理、三角形内角和定理以及等腰三角形和等腰直角三角形的判定与性质等知识．此题难度适中，本题相等的角较多，注意各角之间的关系，注意掌握数形结合思想的应用．
4.（2018?江苏苏州?10分）如图①，直线l表示一条东西走向的笔直公路，四边形ABCD是一块边长为100米的正方形草地，点A，D在直线l上，小明从点A出发，沿公路l向西走了若干米后到达点E处，然后转身沿射线EB方向走到点F处，接着又改变方向沿射线FC方向走到公路l上的点G处，最后沿公路l回到点A处．设AE=x米（其中x＞0），GA=y米，已知y与x之间的函数关系如图②所示， （1）求图②中线段MN所在直线的函数表达式；
（2）试问小明从起点A出发直至最后回到点A处，所走过的路径（即△EFG）是否可以是一个等腰三角形？如果可以，求出相应x的值；如果不可以，说明理由．
【分析】（1）根据点M、N的坐标，利用待定系数法即可求出图②中线段MN所在直线的函数表达式；
（2）分FE=FG、FG=EG及EF=EG三种情况考虑：①考虑FE=FG是否成立，连接EC，通过计算可得出ED=GD，结合CD⊥EG，可得出CE=CG，根据等腰三角形的性质可得出∠CGE=∠CEG、∠FEG＞∠CGE，进而可得出FE≠FG；②考虑FG=EG是否成立，由正方形的性质可得出BC∥EG，进而可得出△FBC∽△FEG，根据相似三角形的性质可得出若FG=EG则FC=BC，进而可得出CG、DG的长度，在Rt△CDG中，利用勾股定理即可求出x的值；③考虑EF=EG是否成立，同理可得出若EF=EG则FB=BC，进而可得出BE的长度，在Rt△ABE中，利用勾股定理即可求出x的值．综上即可得出结论．
【解答】解：（1）设线段MN所在直线的函数表达式为y=kx+b，
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将M（30，230）、N（100，300）代入y=kx+b，
，解得：
∴线段MN所在直线的函数表达式为y=x+200． （2）分三种情况考虑：
①考虑FE=FG是否成立，连接EC，如图所示． ∵AE=x，AD=100，GA=x+200，∴ED=GD=x+100．
又∵CD⊥EG，∴CE=CG，∴∠CGE=∠CEG，∴∠FEG＞∠CGE， ∴FE≠FG；
②考虑FG=EG是否成立．
∵四边形ABCD是正方形，∴BC∥EG，∴△FBC∽△FEG． 假设FG=EG成立，则FC=BC成立，∴FC=BC=100．
∵AE=x，GA=x+200，∴FG=EG=AE+GA=2x+200，∴CG=FG﹣FC=2x+200﹣100=2x+100． 在Rt△CDG中，CD=100，GD=x+100，CG=2x+100， ∴100+（x+100）=（2x+100）， 解得：x1=﹣100（不合题意，舍去），x2=③考虑EF=EG是否成立．
同理，假设EF=EG成立，则FB=BC成立， ∴BE=EF﹣FB=2x+200﹣100=2x+100．
在Rt△ABE中，AE=x，AB=100，BE=2x+100，∴100+x=（2x+100）， 解得：x1=0（不合题意，舍去），x2=﹣综上所述：当x=
（不合题意，舍去）．
2
2
2
2
2
2
，
；
时，△EFG是一个等腰三角形．
【点评】本题考查了待定系数法求一次函数解析式、等腰三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、正方形的性质以及勾股定理，解题的关键是：（1）根据点的坐标，利用待定系数法求出一次函数关系式；（2）分FE=FG、FG=EG及EF=EG三种情况求出x的值．
5. （2018?杭州?8分）如图，在△ABC中，AB=AC，AD为BC边上的中线DE⊥AB于点E。 （1）求证：△BDE∽△CAD。
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（2）若AB=13，BC=10，求线段DE的长
【答案】（1）证明：∵AB=AC，∴∠ABC=∠ACB，△ABC为等腰三角形 ∵AD是BC边上中线 ∴BD=CD，AD⊥BC 又∵DE⊥AB ∴∠DEB=∠ADC 又∵∠ABC=∠ACB ∴△BDE∽△CAD
（2）∵AB=13，BC=10BD=CD= BC=5，AD+BD=AB AD=12
∵△BDE∽△CAD ∴ ∴DE=
，即
2
2
2
【考点】等腰三角形的性质，勾股定理，相似三角形的判定与性质
【解析】【分析】（1）根据已知易证△ABC为等腰三角形，再根据等腰三角形的性质及垂直的定义证明∠DEB=∠ADC，根据两组角对应相等的两三角形是相似三角形，即可证得结论。 (2）根据等腰三角形的性质求出BD的长，再根据勾股定理求出AD的长，再根据相似三角形的性质，得出对应边成比例，就可求出DE的长。
6. （2018?杭州?10分）如图，在△ABC中，∠ACB=90°，以点B为圆心，BC的长为半径画弧，交线段AB于点D，以点A为圆心，AD长为半径画弧，交线段AC于点E，连结CD。
（1）若∠A=28°，求∠ACD的度数； （2）设BC=a，AC=b；①线段AD的长度是方程 ②若线段AD=EC，求 的值．
【答案】（1）因为∠A=28°，所以∠B=62°又因为BC=BD，所以∠BCD= ×（180°-62°）=59°
∴∠ACD=90°-59°=31° （2）因为BC=a，AC=b，所以AB=
的一个根吗？说明理由。
所以AD=AB-BD=
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①因为
=0
=
所以线段AD的长是方程x+2ax-b=0的一个根。 ②因为AD=EC=AE=
所以 是方程x+2ax-b=0的根， 所以
，即4ab=3b
2
2
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因为b≠0，所以 =
【考点】一元二次方程的根，等腰三角形的性质，勾股定理，圆的认识
【解析】【分析】（1）根据三角形内角和定理可求出∠B的度数，再根据已知可得出△BCD是等腰三角形，可求出∠BCD的度数，从而可求得∠ACD的度数。
（2）根据已知①BC=a，AC=b，利用勾股定理可求出AB的值，①再求出AD的长，再根据AD是原方程的一个根，将AD的长代入方程，可得出方程左右两边相等，即可得出结论；②根据已知条件可得出AD=EC=AE= ，将 代入方程化简可得出4ab=3b，就可求出a与b之比。 7.（2018?嘉兴?6分）已知：在△ABC中，AB=AC，D为AC的中点，DE⊥AB，DF⊥BC，垂足分别为点E，F，且DE=DF．求证：△ABC是等边三角形．
【答案】证明见解析.
【解析】分析：由等腰三角形的性质得到∠B=∠C．再用HL证明Rt△ADE≌Rt△CDF，得到∠A=∠C，从而得到∠A=∠B=∠C，即可得到结论．
详解：∵AB=AC， ∴∠B=∠C．
∵DE⊥AB， DF⊥BC，∴∠DEA=∠DFC=Rt∠． ∵D为的AC中点，∴DA=DC．
又∵DE=DF，∴RtΔAED≌RtΔCDF(HL)， ∴∠A=∠C， ∴∠A=∠B=∠C， ∴ΔABC是等边三角形．
点睛：本题考查了等边三角形的判定、等腰三角形的性质以及直角三角形全等的判定
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与性质．解题的关键是证明∠A=∠C．
8.（2018?广西贵港?11分）如图，已知二次函数y=ax+bx+c的图象与x轴相交于A（﹣1，0），B（3，0）两点，与y轴相交于点C（0，﹣3）． （1）求这个二次函数的表达式；
（2）若P是第四象限内这个二次函数的图象上任意一点，PH⊥x轴于点H，与BC交于点M，连接PC．
①求线段PM的最大值；
②当△PCM是以PM为一腰的等腰三角形时，求点P的坐标．
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【分析】（1）根据待定系数法，可得答案；
（2）①根据平行于y轴直线上两点间的距离是较大的纵坐标减较小的纵坐标，可得二次函数，根据二次函数的性质，可得答案；
②根据等腰三角形的定义，可得方程，根据解方程，可得答案． 【解答】解：（1）将A，B，C代入函数解析式，得
，
解得，
2
这个二次函数的表达式y=x﹣2x﹣3； （2）设BC的解析是为y=kx+b， 将B，C的坐标代入函数解析式，得
，
解得
，
BC的解析是为y=x﹣3，
设M（n，n﹣3），P（n，n﹣2n﹣3），
2
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